blog, cálculo vectorial

Divergencia y rotacional. Cálculo vectorial.

Campo vectorial o campo de vectores en el plano.

Sean M y N funciones de dos variables “x” y “y”, definidas en una región plana R. La función F definida por

\overrightarrow{F}(x,y) = M\overrightarrow{i} + N\overrightarrow{j}

se llama “Campo de vectores en R”

Campo vectorial o campo de vectores en el espacio.

Sean M, N y P funciones de tres variables “x”, “y” y “z”, definidas en una región plana Q. La función F definida por:

\overrightarrow{F}(x,y,z) = M\overrightarrow{i} + N\overrightarrow{j} + P\overrightarrow{k}

se llama “Campo de vectores en Q”

Transformaciones.

Primera derivada parcial con respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) = f_x (x, y) = M

 

\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f(x, y, z) = f_x (x, y, z) = M

Primera derivada parcial con respecto a “y”

\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = f_y (x,y) = N

\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} f(x, y, z) = f_y (x, y, z) = N

Primera derivada parcial con respecto a “z”

\displaystyle \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) = f_z (x,y,z) = P

Gradiente en el plano.

Dado lo siguiente

\displaystyle \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{j}

El gradiente es

\displaystyle \nabla f(x,y) = [\frac{\partial}{\partial x} f(x, y)] \overrightarrow{i} + [\frac{\partial}{\partial y} f(x, y)] \overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(x,y) = f_x (x, y, z) \overrightarrow{i} + f_y (x, y, z) \overrightarrow{j}

Gradiente en el espacio.

Dado lo siguiente

\displaystyle \nabla = \frac{\partial}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{\partial}{\partial z} \overrightarrow{k}

El gradiente es

\displaystyle \nabla f(x,y, z) = [\frac{\partial}{\partial x} f(x,y, z)] \overrightarrow{i} + [\frac{\partial}{\partial y} f(x,y, z)] \overrightarrow{j} + [\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z)] \overrightarrow{k}

\nabla f(x,y,z) = f_x (x,y, z) \overrightarrow{i} + f_y (x,y, z) \overrightarrow{j} + f_z (x,y, z) \overrightarrow{k}

Divergencia en un campo vectorial.

Dado el campo vectorial en el plano

\displaystyle \overrightarrow{F} (x, y) = M\overrightarrow{i} + N\overrightarrow{j}

La divergencia en el plano es

div \overrightarrow{F}(x,y) = \nabla \cdot \overrightarrow{F}(x,y)

Y del campo vectorial en el espacio

\overrightarrow{F}(x, y, z) = M\overrightarrow{i} + N\overrightarrow{j} + P\overrightarrow{k}

Su divergencia en el espacio es

div \overrightarrow{F}(x,y,z) = \nabla \cdot \overrightarrow{F}(x,y, z)

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar la divergencia del siguiente campo vectorial

\overrightarrow{F}(x, y) = x \cos{y} \overrightarrow{i} + 2xy \overrightarrow{j}

Solución.

Usando la fórmula de la divergencia en el plano

div \overrightarrow{F}(x,y) = \nabla \cdot \overrightarrow{F}(x,y)

\displaystyle = (\frac{\partial}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{j}) \cdot (x \cos{y} \overrightarrow{i} + 2xy \overrightarrow{j}) = \frac{\partial}{\partial x} (x \cos{y}) + \frac{\partial}{\partial y} (2xy)

\therefore div \overrightarrow{F} (x,y) = \cos{y} + 2x

Problema 2. Hallar la divergencia del siguiente campo vectorial

\overrightarrow{F}(x, y, z) = (x - \sin{y}) \overrightarrow{i} + 2 \cos{y} \overrightarrow{j} + x \ln{z} \overrightarrow{k}

Solución.

Usando la fórmula de la divergencia en el espacio

div \overrightarrow{F}(x,y,z) = \nabla \cdot \overrightarrow{F}(x,y,z)

\displaystyle = (\frac{\partial}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{\partial}{\partial z} \overrightarrow{k}) \cdot [(x - \sin{y}) \overrightarrow{i} + 2 \cos{y} \overrightarrow{j} + x \ln{z} \overrightarrow{k}]

\displaystyle = \frac{\partial}{\partial x} (x - \sin{y}) + \frac{\partial}{\partial y} (2 \cos{y}) \overrightarrow{j} + \frac{\partial}{\partial z} x(\ln{z})

\displaystyle \therefore div \overrightarrow{F}(x,y,z) = 1 - 2 \sin{y} + \frac{x}{z}

Rotacional en un campo vectorial.

Dado un campo vectorial en el espacio

\overrightarrow{F}(x,y,z) = M\overrightarrow{i} + N\overrightarrow{j} + P\overrightarrow{k}

Su rotacional es

\displaystyle rot \overrightarrow{F}(x,y,z) = \nabla \times \overrightarrow{F}(x,y,z) = \left[ \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ M & N & P \end{matrix} \right]

\displaystyle = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ N & P \end{matrix} \right] \overrightarrow{i} - \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ M & P \end{matrix} \right] \overrightarrow{j} + \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ M & N \end{matrix} \right] \overrightarrow{k}

Problemas resueltos.

Problema 3. Hallar la rotacional del siguiente campo vectorial

\overrightarrow{F}(x,y,z) = (34xy - \sin{x}) \overrightarrow{i} + xzj\overrightarrow{j} + (4y - 8x) \overrightarrow{k}

Solución. Usando la fórmula de la rotacional

rot \overrightarrow{F} (x,y,z) = \nabla \times \overrightarrow{F} (x,y,z) = \left[ \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ (34xy -\sin{x}) & xz & (4y-8x) \end{matrix} \right]

\displaystyle = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ xz & (4y-8x) \end{matrix} \right] \overrightarrow{i} - \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ (34xy-\sin{x}) & (4y-8x) \end{matrix} \right] \overrightarrow{j} + \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ (34xy-\sin{x}) & xz \end{matrix} \right] \overrightarrow{k}

\displaystyle = [\frac{\partial}{\partial y} (4y-8x) - \frac{\partial}{\partial z} (xz)] \overrightarrow{i} - [\frac{\partial}{\partial x} (4y-8x) - \frac{\partial}{\partial z} (34xy -\sin{x})] \overrightarrow{j} + [\frac{\partial}{\partial x} (xz) - \frac{\partial}{\partial y} (34xy - \sin{x})] \overrightarrow{k}

= (4-x) \overrightarrow{i} - (-8x) \overrightarrow{j} + (z - 34x) \overrightarrow{k}

\therefore rot \overrightarrow{F}(x,y,z) = (4-x) \overrightarrow{i} + (8x) \overrightarrow{j} + (z-34x) \overrightarrow{k}

Problema 4. Hallar la rotacional del siguiente campo vectorial:

\overrightarrow{F}(x,y,z) = (16xyz) \overrightarrow{i} + (y^2 - x^2) \overrightarrow{j} + (3xz) \overrightarrow{k}

Solución. Usando la fórmula de la rotacional

\displaystyle rot \overrightarrow{F}(x,y,z) = \nabla \times \overrightarrow{F}(x,y,z) = \left[ \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 16xyz & (y^2-x^2) & 3xz \end{matrix} \right]

\displaystyle = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ (y^2-x^2) & 3xz \end{matrix} \right] \overrightarrow{i} - \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 16xyz & 3xz \end{matrix} \right] \overrightarrow{j} + \left[ \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ 16xyz & (y^2-x^2) \end{matrix} \right] \overrightarrow{k}

\displaystyle = [\frac{\partial}{\partial y} (3xz) - \frac{\partial}{\partial z} (y^2-x^2)] \overrightarrow{i} - [\frac{\partial}{\partial x} (3xz) - \frac{\partial}{\partial z} (16xyz)] \overrightarrow{j} + [\frac{\partial}{\partial x} (y^2 - x^2) - \frac{\partial}{\partial y} (16xyz)] \overrightarrow{k}

= (0) \overrightarrow{i} - (3z-16xy) \overrightarrow{j} + (-2x-16xz) \overrightarrow{k}

\therefore rot \overrightarrow{F}(x,y,z) = (0) \overrightarrow{i} + (16xy-3z) \overrightarrow{j} + (-2x-16xz) \overrightarrow{k}

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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