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Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables. Cálculo vectorial.

Introducción.

Sea «f» una función de «x«, «y«, «z«, con derivadas parciales de primer orden continuas. La derivada direccional de «f» en dirección de un vector unitario \overrightarrow{u} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} + c\overrightarrow{k}, está dada por

{D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y,z) = a f_x (x,y,z) + b f_y (x,y,z) + c f_z (x,y,z)

Y para el gradiente es

\nabla f(x,y,z) = f_x (x,y,z) \overrightarrow{i} + f_y (x,y,z) \overrightarrow{j} + f_z (x,y,z) \overrightarrow{k}

Propiedades de la gradiente para tres variables.

Las propiedades del gradiente son:

  1. {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y,z) = \nabla f(x,y,z) \overrightarrow{u}
  2. Si \nabla f(x,y,z) = 0, entonces {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y,z) = 0 para toda \overrightarrow{u}.
  3. La dirección de máximo incremento de f está dada por \nabla f(x,y,z). El valor máximo de {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y,z) es ||\nabla f(x,y,z)||.
  4. La dirección de mínimo incremento de «f» está dada por -\nabla f(x,y,z). El valor mínimo de {D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y,z) es ||-\nabla f(x,y,z)||.

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar \nabla f(x,y,z) para la función dada por f(x,y,z) = x^2 + y^2 - 4z y hallar la dirección de máximo incremento de f en el punto (2,-1,1).

Solución. Se determina el vector gradiente

\nabla f(x,y,z) = f_x (x,y,z) \overrightarrow{i} + f_y (x,y,z) \overrightarrow{j} + f_z (x,y,z) \overrightarrow{k}

Para ello se calcula la derivada parcial de la función “f(x,y,z)” con respecto a “x”

\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 - 4z) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{\partial}{\partial x} (y^2) - \frac{\partial}{\partial x} (4z)

f_x (x,y,z) = 2x

Con respecto a “y”

\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 - 4z) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2) + \frac{\partial}{\partial y} (y^2) - \frac{\partial}{\partial y} (4z)

f_y (x,y,z) = 2y

Y con respecto a “z”

\displaystyle \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} (x^2 + y^2 - 4z) = \frac{\partial}{\partial z} (x^2) + \frac{\partial}{\partial z} (y^2) - \frac{\partial}{\partial z} (4z)

f_z (x,y,z) = -4

Sustituyendo los resultados obtenidos en la ecuación del vector tangente

\nabla f(x,y,z) = f_x (x,y,z) \overrightarrow{i} + f_y (x,y,z) \overrightarrow{j} + f_z (x,y,z) \overrightarrow{k}

\nabla f(x,y,z) = 2x \overrightarrow{i} + 2y \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k}

Por lo tanto

\nabla f(x,y,z) = 2x \overrightarrow{i} + 2y \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k}

Para determinar el máximo incremento, se utiliza el punto (2,-1,1) y el resultado del vector tangente. Posteriormente, se sustituye el punto dado en la ecuación del gradiente

\nabla f(x,y,z) = 2x \overrightarrow{i} + 2y \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k}

\nabla f(2,-1,1) = 2(2) \overrightarrow{i} + 2(-1) \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k}

\nabla f(2,-1,1) = 4 \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} - 4 \overrightarrow{k}

Finalmente

\therefore \nabla f(2,-1,1) = 4 \overrightarrow{i} - 2 \overrightarrow{j} - 4\overrightarrow{k}

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

 

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