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Cuando el gradiente es normal. Cálculo vectorial.

Introducción.

El gradiente es normal a las curvas de nivel. Si «f» es diferenciable en (x_0, y_0) y \nabla f(x_0, y_0) \ne 0 entonces \nabla f(x_0, y_0) es normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por (x_0, y_0).

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar un vector normal a una curva de nivel f(x,y)=y - \sin{x} con c=0.

Solución. A partir de la función

f(x,y) = y - \sin{x}

Igualándolo a cero

0 = y - \sin{x}

\sin{x} = y

y = \sin{x}

Ahora, derivando la función parcialmente con respecto a “x”

\displaystyle f_x (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (y - \sin{x}) = \frac{\partial}{\partial x} (y) - \frac{\partial}{\partial x} (\sin{x}) = y \frac{\partial}{\partial x} (1) - \frac{\partial}{\partial x} (\sin{x})

f_x (x,y) = -\cos{x}

Y Con respecto a “y”

\displaystyle f_y (x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (y - \sin{x}) = \frac{\partial}{\partial y} (y) - \frac{\partial}{\partial y} (\sin{x}) = \frac{\partial}{\partial y} (y) - \sin{x} \frac{\partial}{\partial y} (1)

f_y (x,y) = 1

Y del gradiente

\nabla f(x,y) = f_x (x,y) \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \overrightarrow{i}

\nabla f(x,y) = -\cos{x} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

Se toman diversos valores de “x” y de “y” para concluir que \nabla f(x,y) es normal a la curva de nivel en el punto (x,y). Entonces, algunos vectores gradiente son

\nabla f(-\pi, 0) = -\cos{(-\pi)} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\cos{(-\frac{2\pi}{3})} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \frac{1}{2} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(-\frac{\pi}{2},-1) = 0\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(-\frac{\pi}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\cos{(-\frac{\pi}{3})} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = \frac{1}{2} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\nabla f(0, 0) = -\cos{0} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = -\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(\frac{\pi}{3},\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\cos{\frac{\pi}{3}} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(\frac{\pi}{2}, 1) = -\cos{\frac{\pi}{2}} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = 0\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

Imagen1
Figura 4.19.1 Representación gráfica de la superficie de la función f(x,y)=y-sen x.
Imagen2
Figura 4.19.2 Representación gráfica de la curva de nivel cuando f(x,y)=0.

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

 

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