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Forma alternativa de la derivada direccional. Cálculo vectorial.

Introducción.

Si «f» es una función diferenciable de «x» y «y», entonces la derivada direccional de «f» en la direccional del vector unitario \overrightarrow{u} es

{D}_{\overrightarrow{u}} f(x,y) = f(x,y) \cdot \overrightarrow{u}

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar la derivada direccional usando \nabla f(x,y) para f(x,y) = 3x^2 - 2y^2 en \displaystyle P(-\frac{3}{4}, 0) a Q(0,1).

4-17FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL
Figura 4.17.1 Representación gráfica de la función f(x,y)=3x^2 – 2y^2.

Solución. Primero se debe tener el vector:

\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{v}

\displaystyle \overrightarrow{v} = (0-(-\frac{3}{4})) \overrightarrow{i} + (1-0) \overrightarrow{j} = \frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

Y después, el vector unitario

\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} + {(1)}^{2}}} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{\frac{9}{16} + 1}} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{\frac{9+16}{16}}}

\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} (\frac{3}{4} \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j})

\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{3}{5} \overrightarrow{i} + \frac{4}{5} \overrightarrow{j}

Más tarde, derivando la función parcialmente

\displaystyle f_x (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2-2y^2) = \frac{\partial}{\partial x} (3x^2) - \frac{\partial}{\partial x} (2y^2)

\displaystyle f_x (x,y) = 3 \frac{\partial}{\partial x} (x^2) - 2y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) = 3(2x) - 2y^2 (0)

\therefore f_x (x,y) = 6x

\displaystyle f_y (x,y) = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y^2) = \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y^2)

\displaystyle f_y (x,y) = 3x^2 \frac{\partial}{\partial y} (1) - 2 \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 3x^2 (0) - 2(2y)

\therefore f_y (x,y) = -4y

Yendo a la fórmula del gradiente:

\nabla f(x,y) = f_x (x,y) \overrightarrow{i} + f_y (x,y) \overrightarrow{j}

\therefore \nabla f(x,y) = 6x \overrightarrow{i} - 4y \overrightarrow{j}

Tomando en cuenta el valor del primer punto, es decir, \displaystyle P(-\frac{3}{4},0)

\displaystyle \nabla f(-\frac{3}{4},0) = 6(-\frac{3}{4}) \overrightarrow{i} - 4(0) \overrightarrow{j} = -\frac{18}{4} \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}

\displaystyle \nabla f(-\frac{3}{4},0) = -\frac{9}{2} \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}

Y sustituyendo en la fórmula de la derivada direccional

\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} (-\frac{3}{4},0) = \nabla f(-\frac{3}{4},0)  \overrightarrow{u} = (-\frac{9}{2} \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j})(\frac{3}{5} \overrightarrow{i} + \frac{4}{5} \overrightarrow{j})

\displaystyle {D}_{\overrightarrow{u}} (-\frac{3}{4},0) = (-\frac{9}{2})(\frac{3}{5}) + (0)(\frac{4}{5}) = -\frac{27}{10} + 0

\displaystyle \therefore {D}_{\overrightarrow{u}} (-\frac{3}{4}, 0) = -\frac{27}{10}

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

 

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