Diferencial total. Cálculo vectorial.

Introducción.

Si $z = f(x,y)$ y $\Delta x$ y $\Delta y$ son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las variables independientes x y y son

$dx = \Delta x$

$dy = \Delta y$

Y la diferencial total de la variable independiente z es

$\displaystyle dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = {f}_{x} (x,y) dx + {f}_{y} (x,y) dy$

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar la diferencial total para la siguientes funciones:

a) $z =2x \sin{y} - 3x^2 y^2$

Solución. Primero se obtienen las derivadas parciales de la función z, que es con respecto a «x«

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x \sin{y} - 3x^2 y^2) = \frac{\partial}{\partial x} (2x \sin{y}) - \frac{\partial}{\partial x} (3x^2 y^2)$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin{y} \frac{\partial}{\partial x} (x) - 3y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x^2) = 2 \sin{y}(1) - 3y^2 (2x)$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin{y} - 6xy^2 = {f}_{x} (x,y)$

Y con respecto a «y»

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x \sin{y} - 3x^2 y^2)$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x \sin{y}) - \frac{\partial}{\partial y} (3x^2 y^2)$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = 2x \frac{\partial}{\partial y} (\sin{y}) - 3x^2 \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2x \cos{y} - 3x^2 (2y)$

$\displaystyle \therefore \frac{\partial z}{\partial y} = 2x \cos{y} - 6x^2 y = {f}_{y} (x,y)$

Ahora, sustituyendo en la fórmula de la diferencial total de z

$dz = f_x (x,y)dx + f_y (x,y)dy$

$\therefore dz = (2 \sin{y} - 6xy^2) dx + (2x \cos{y} - 6x^2 y) dy$

b) $w = x^2 + y^2 + z^2$

Primero se obtienen las derivadas parciales de la función z, que es con respecto a «x»

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 + z^2) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{\partial}{\partial x} (y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (z^2)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) + z^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) = 2x + y^2 (0) + z^2 (0)$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2x = {f}_{x} (x,y,z)$

Con respecto a «y»

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 + z^2) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2) + \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{\partial}{\partial y} (z^2)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = x^2 \frac{\partial}{\partial y} (1) + \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + z^2 \frac{\partial}{\partial y} (1) = x^2 (0) + 2y + z^2 (0)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = 2y = {f}_{y} (x,y,z)$

Y para la derivada parcial con respecto de “z” es

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (x^2 + y^2 + z^2) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{\partial}{\partial x} (y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (z^2)$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = x^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) + y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) + \frac{\partial}{\partial x} (z^2) = x^2 (0) + y^2 (0) + 2z$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = 2z = {f}_{z} (x,y,z)$

Ahora, sustituyendo en la fórmula de la diferencial total de w

$dw = {f}_{x} (x,y,z) dx + {f}_{y} (x,y,z) dy + {f}_{z} (x,y,z) dz$

$\therefore dw = 2x dx + 2y dy +2z dz$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.