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Derivadas parciales de segundo orden para dos variables. Cálculo vectorial.

Igualdad de las derivadas parciales mixtas.

Si f es una función de x y y tal que f_x y f_y son continuas en un disco abierto \Re, entonces, para todo (x, y) en \Re,

{f}_{xy} (x,y) = {f}_{yx} (x,y)

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar las derivadas parciales de segundo orden para la siguiente función

f(x, y) = 3x{y}^{2} - 2y + 5{x}^{2}{y}^{2}

Y valor para {f}_{xy} (-1, 2).

Solución.

Entonces de la función

f(x, y) = 3xy^2 - 2y + 5x^2 y^2

Derivando parcialmente con respecto a x

\displaystyle {f}_{x} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (3xy^2 - 2y + 5x^2 y^2)

\displaystyle {f}_{x} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (3xy^2) - \frac{\partial}{\partial x} (2y) + \frac{\partial}{\partial x} (5x^2 y^2)

\displaystyle {f}_{x} (x, y) = 3y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x) - 2y \frac{\partial}{\partial x} (1) + 5y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x^2)

{f}_{x} (x, y) = 3y^2 + 10xy^2

Derivando parcialmente con respecto a y

\displaystyle {f}_{y} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3xy^2 - 2y + 5x^2 y^2)

\displaystyle {f}_{x} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (3xy^2) - \frac{\partial}{\partial y} (2y) + \frac{\partial}{\partial y} (5x^2 y^2)

\displaystyle {f}_{x} (x, y) = 3x \frac{\partial}{\partial y} (y^2) - 2 \frac{\partial}{\partial y} (y) + 5x^2 \frac{\partial}{\partial y} (y^2)

{f}_{y} (x, y) = 6xy - 2 + 10x^2 y

Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a x, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x

\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial x^2}

\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (3y^2 + 10xy^2)

\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (3y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (10xy^2)

\displaystyle {f}_{xx} (x, y) = 3y^2 \frac{\partial}{\partial x} (1) + 10y^2 \frac{\partial}{\partial x} (x)

{f}_{xx} (x, y) = 10y^2

Del resultado de la primera derivada parcial con respecto a x, ahora se deriva parcialmente con respecto a y

\displaystyle {f}_{xy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (3y^2 + 10xy^2)

\displaystyle {f}_{xy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (3y^2) + \frac{\partial}{\partial y} (10xy^2)

\displaystyle {f}_{xy} (x, y) = 3 \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + 10x \frac{\partial}{\partial y} (y^2)

{f}_{xy} (x, y) = 6y + 20xy

Del segundo resultado de la función derivado parcialmente con respecto a y, nuevamente, derivando parcialmente con respecto a x

\displaystyle {f}_{yx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (6xy-2+10x^2 y)

\displaystyle {f}_{yx} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (6xy) - \frac{\partial}{\partial x} (2) + \frac{\partial}{\partial x} (10xy^2)

\displaystyle {f}_{yx} (x, y) = 6y \frac{\partial}{\partial x} (x) - \frac{\partial}{\partial x} (2) + 10y \frac{\partial}{\partial x} (x^2)

{f}_{yx} (x, y) = 6y + 20xy

Y utilizando nuevamente el segundo resultado, es decir, la función derivado parcialmente con respecto a y, ahora se parcialmente con respecto a y

\displaystyle {f}_{yy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{{\partial}^{2} f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (6xy - 2 + 10x^2 y)

\displaystyle {f}_{yy} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (6xy) - \frac{\partial}{\partial y} (2) + \frac{\partial}{\partial y} (10xy^2)

\displaystyle {f}_{yy} (x, y) = 6x \frac{\partial}{\partial y} (y) - \frac{\partial}{\partial y} (2) + 10x^2 \frac{\partial}{\partial y} (y)

{f}_{yy} (x, y) = 6x + 10x^2

Así que los resultados son

Imagen1

Y para {f}_{xy} (-1, 2)

{f}_{xy} (x, y) = 6y + 20xy

{f}_{xy} (-1, 2) = 6(2) + 20(-1)(2)

{f}_{xy} (-1, 2) = 12 - 40

\therefore {f}_{xy} (-1, 2) = -28

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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