blog, cálculo vectorial

Aplicaciones de las derivadas parciales de primer orden para dos variables. Cálculo vectorial.

Costo marginal. Problemas resueltos.

Problema 1. Una empresa fabrica dos tipos de estufas de combustión de madera: el modelo autoestable y el modelo para inserción de una chimenea. La función de costo para producir x estufas autoestables y de y de inserción de una chimenea es:

\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050

a) Calcular los costos marginales \displaystyle (\frac{\partial C}{\partial x} y \displaystyle \frac{\partial C}{\partial y}) cuando x=80 y y=20.

b) Cuando se requiera producción adicional, ¿qué modelo de estufa hará incrementar el costo con una tasa más alta? ¿Cómo puede determinarse esto a partir del modelo de costo?

Solución.

Solución a). De la función:

\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050

Se deriva parcialmente con respecto a x:

\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050)

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (32\sqrt{xy}) + \frac{\partial}{\partial x} (175x) + \frac{\partial}{\partial x} (205y) + \frac{\partial}{\partial x} (1050)

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = 32\sqrt{y} \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x}) + 175 \frac{\partial}{\partial x} (x) + 205y \frac{\partial}{\partial x} (1) + \frac{\partial}{\partial x} (1050)

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial x} = 32\sqrt{y} (\frac{1}{2\sqrt{x}}) + 175(1) + 205y(0) + 1050(0) = 16 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + 175

\displaystyle \therefore \frac{\partial C}{\partial x} = 16\sqrt{\frac{y}{x}} + 175

Si x=80 y y=20

\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial x}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{\frac{20}{80}} + 175

\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial x}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{\frac{1}{4}} + 175 = 16(\frac{1}{2}) + 175 = 8 + 175

\displaystyle \therefore {\frac{\partial C}{\partial x}}_{x=80, y=20} = 183

Y de la función, ahora se deriva parcialmente con respecto a y

\displaystyle C = 32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (32\sqrt{xy} + 175x + 205y + 1050)

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (32\sqrt{xy}) + \frac{\partial}{\partial y} (175x) + \frac{\partial}{\partial y} (205y) + \frac{\partial}{\partial y} (1050)

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = 32\sqrt{x} \frac{\partial}{\partial y} (\sqrt{y}) + 175x \frac{\partial}{\partial y} (1) + 205 \frac{\partial}{\partial y} (y) + \frac{\partial}{\partial y} (1050)

\displaystyle \frac{\partial C}{\partial y} = 32\sqrt{x} (\frac{1}{2\sqrt{y}}) + 175x (0) + 205(1) + 1050(0) = 16 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + 205

\displaystyle \therefore \frac{\partial C}{\partial y} = 16\sqrt{\frac{x}{y}} + 205

Si x=80 y y=20

\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial y}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{\frac{80}{20}} + 205

\displaystyle {\frac{\partial C}{\partial y}}_{x=80, y=20} = 16\sqrt{4} + 205 = 16(2) + 205 = 32 + 205

\displaystyle \therefore {\frac{\partial C}{\partial y}}_{x=80, y=20} = 237

Solución b). El modelo para insertar en la chimenea incrementar el costo en una porción mayor debido a que el coeficiente de y es de mayor magnitud que el coeficiente x.

Evaluación de un punto dado.

Problema 2. Hallar y evaluar las primeras derivadas parciales para la función \displaystyle f(x,y) = x{e}^{x^2 y} en el punto (1, \ln{2}).

Solución. Derivando parcialmente con respecto a “x”:

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x{e}^{x^2 y}) = x \frac{\partial}{\partial x} ({e}^{x^2 y}) + {e}^{x^2 y} \frac{\partial}{\partial x} (x)

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = x(2xy{e}^{x^2 y}) + {e}^{x^2 y} (1)

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2x^2 y{e}^{x^2 y} + {e}^{x^2 y}

Si x=1 y y = \ln{2}

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = 2{(1)}^{2} (\ln{2}) {e}^{({(1)}^{2} \ln{2})} + {e}^{({(1)}^{2} \ln{2})}

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = \ln{4} {e}^{\ln{2}} + {e}^{\ln{2}}

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = 2 \ln{4} + 2

\displaystyle \therefore {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,\ln{2})} = \ln{16} + 2

Ahora, derivando la función con respecto a y

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x{e}^{x^2 y}) = x \frac{\partial}{\partial y} ({e}^{x^2 y})

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x(x^2 {e}^{x^2 y})

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x^3 {e}^{x^2 y}

Si x=1 y y = \ln{2}

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1, \ln{2})} = {(1)}^{3} {e}^{{(1)}^{2} \ln{2}}

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1, \ln{2})} = {e}^{\ln{2}} = 2

\displaystyle \therefore {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1,\ln{2})} = 2

Hallando pendientes en una superficie.

Problema 3. Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y.

  1. a) \displaystyle f(x, y) = -\frac{x^2}{2} - y^2 + \frac{25}{8} en el punto \displaystyle (\frac{1}{2},1,2).

Solución. Derivando la función con respecto a x

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{x^2}{2} -y^2 + \frac{25}{8}) = -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} (x^2) - \frac{\partial}{\partial x} (y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (\frac{25}{8})

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{2} (2x) - 0 + 0

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -x

Si \displaystyle x = \frac{1}{2}, y=1 y z = 2

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(\frac{1}{2},1,2)} = -\frac{1}{2}

La cual es la pendiente en dirección de x. Más tarde, derivando la función con respecto a y

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{x^2}{2} -y^2 + \frac{25}{8}) = -\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} (x^2) - \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{25}{8}) = -\frac{1}{2} (0) - 2y + 0

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -2y

Si \displaystyle x=\frac{1}{2}, y=1 y z=2

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(\frac{1}{2},1,2)} = -2(1) = -2

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(\frac{1}{2},1,2)} = -2

La cual es la pendiente en dirección de y.

  1. b) \displaystyle f(x, y) = 1-{(x-1)}^{2} - {(y-2)}^{2} en el punto (1, 2, 1).

Solución. Derivando parcialmente con respecto a x de la función brindada por el problema

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} [1 - {(x-1)}^{2} - {(y-2)}^{2}]

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (1) - \frac{\partial}{\partial x} [{(x-1)}^{2}] - \frac{\partial}{\partial x} [{(y-2)}^{2}] = 0 - 2(x-1) + 0

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -2(x-1)

Si x=1, y=2 y z=1

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,2,1)} = -2(1 - 1) = 0

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial x}}_{(1,2,1)} = 0

La cual es la pendiente en dirección de x.

Derivando parcialmente con respecto a y

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} [1 - {(x-1)}^{2} - {(y-2)}^{2}]

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (1) - \frac{\partial}{\partial y} [{(x-1)}^{2}] - \frac{\partial}{\partial y} [{(y-2)}^{2}] = 0 + 0 - 2(y - 2)

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -2(y - 2)

Si x=1, y=2 y z=1

\displaystyle {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1,2,1)} = -2(2 - 2) = 0

\therefore {\frac{\partial f}{\partial y}}_{(1,2,1)} = 0

La cual es la pendiente en dirección de y.

Tasas o ritmos de cambio.

Problema 4. El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y la entre los que se forma un ángulo \theta está dada por A = ab \sin{\theta}.

a) Hallar la tasa o el ritmo de cambio de A con respecto de a si a=10, b=20 y \displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}.

b) Calcular la tasa o el ritmo de cambio de A con respecto de \theta si a=10, b=20 y \displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}.

Solución a). Del área del paralelogramo

A = ab \sin{\theta}

Se deriva parcialmente con respecto a “a

\displaystyle \frac{\partial A}{\partial a} = \frac{\partial}{\partial a} (ab \sin{\theta}) = (b \sin{\theta}) \frac{\partial}{\partial a} (a)

\displaystyle \therefore \frac{\partial A}{\partial a} = b \sin{\theta}

Si a=10, b=20 y \displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}

\displaystyle {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta = \frac{\pi}{6})} = 20 \sin{\frac{\pi}{6}} = 20(\frac{1}{2}) = 10

\displaystyle \therefore {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta = \frac{\pi}{6})} = 10

Solución b). Utilizando nuevamente el área del paralelogramo

A = ab \sin{\theta}

Se deriva parcialmente con respecto a “\theta

\frac{\partial A}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta} (ab \sin{\theta}) = (ab) \frac{\partial}{\partial a} (\sin{\theta})

\displaystyle \therefore \frac{\partial A}{\partial a} = ab \cos{\theta}

Si a=10, b=20 y \displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}

\displaystyle {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta=\frac{\pi}{6})} = (10)(20) \cos{\frac{\pi}{6}} = 200(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 100\sqrt{3}

\displaystyle \therefore {\frac{\partial A}{\partial a}}_{(a=10, b=20, \theta=\frac{\pi}{6})} = 100\sqrt{3}

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

 

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