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Funciones de varias variables. Cálculo vectorial.

Funciones de dos variables.

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f(x, y) es el rango o recorrido de f.

Análisis de funciones de dos funciones. Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar el dominio de las siguientes funciones de varias variables:

  1. a) \displaystyle f(x,y) = \frac{\sqrt{x^2 + y^2 - 9}}{x}

Solución.

f está definida para todos los puntos (x, y) tales que x \ne 0 y x^2+y^2 \ge 9.

  1. b) \displaystyle g(x,y,z) = \frac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}}

Solución.

g está definida para todos los puntos (x, y) tales que x^2+y^2+z^2 < 9.

Problema 2. Describir de la gráfica de una función de dos variables

Recorrido para \displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}

Solución.

A partir de la función:

\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}

Se dice que f(x, y)=0, entonces:

\displaystyle \sqrt{16-4x^2-y^2} \ge 0

\displaystyle 16 - 4x^2-y^2 \ge 0

Donde el dominio es el conjunto de todos los puntos (x, y). Ahora:

16-4x^2-y^2 \ge 0

4x^2+y^2 = 16

\displaystyle \frac{4x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1

\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1

La cual es una elipse en el plano xy.

Imagen1
Figura 4.1.1 Representación gráfica de la función \displaystyle  f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}.

Regresando a la función brindada por el problema:

\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}

\displaystyle z = \sqrt{16-4x^2-y^2}

z^2 = 16-4x^2-y^2

Si x=0 y y=0:

z^2 = 16

z=4

Por tanto, el rango para esta función es:

0 \le z \le 4

Y finalmente:

\displaystyle f(x, y) = z = \sqrt{16-4x^2-y^2}

z^2 = 16 - 4x^2 - y^2

4x^2+y^2+z^2=16

\displaystyle \frac{4x^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{16} = 1

\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{16} = 1

Y esta representa una elipsoide.

Dominio y alcance en funciones de dos variables. Problemas resueltos.

1.- \displaystyle f(x, y) = \sqrt{4-x^2-y^2}

Dominio: \left\{(x, y):x^2+y^2 \le 4\right\}

Alcance: 0 \le z \le 2

2.- f(x, y) = \arcsin{(x+y)}

Dominio: \left\{(x, y): -1 \le x+y \le 1\right\}

Alcance: \displaystyle \frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}

3.- \displaystyle f(x, y) = \ln{(4-x-y)}

Dominio: \left\{(x, y):y<-x+4 \right\}

Alcance: \Re

4.- \displaystyle z = \frac{x+y}{xy}

Dominio: \left\{(x,y): x \ne 0, y\ne 0 \right\}

Alcance: \Re

5.- \displaystyle f(x, y) = {e}^{\frac{x}{y}}

Dominio: \left\{(x, y):y \ne 0 \right\}

Alcance: z<0   6.- \displaystyle f(x,y) = \frac{1}{xy} Dominio: \left\{(x, y):x \ne 0 , y \ne 0 \right\} Alcance: |z|> 0

Problemas resueltos.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

 

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