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Funciones de varias variables. Cálculo vectorial.

27 noviembre, 20172 junio, 2020 Cesar Reyes

Funciones de dos variables.

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado $(x, y)$ de D le corresponde un único número real $f(x, y)$ , entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores $f(x, y)$ es el rango o recorrido de f.

Análisis de funciones de dos funciones. Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar el dominio de las siguientes funciones de varias variables:

a) $\displaystyle f(x,y) = \frac{\sqrt{x^2 + y^2 - 9}}{x}$

Solución.

f está definida para todos los puntos $(x, y)$ tales que $x \ne 0$ y $x^2+y^2 \ge 9$ .

b) $\displaystyle g(x,y,z) = \frac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}}$

Solución.

g está definida para todos los puntos $(x, y)$ tales que $x^2+y^2+z^2 < 9$ .

Problema 2. Describir de la gráfica de una función de dos variables

Recorrido para $\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}$

Solución.

A partir de la función:

$\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}$

Se dice que $f(x, y)=0$ , entonces:

$\displaystyle \sqrt{16-4x^2-y^2} \ge 0$

$\displaystyle 16 - 4x^2-y^2 \ge 0$

Donde el dominio es el conjunto de todos los puntos (x, y). Ahora:

$16-4x^2-y^2 \ge 0$

$4x^2+y^2 = 16$

$\displaystyle \frac{4x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1$

$\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$

La cual es una elipse en el plano xy.

Imagen1 — Figura 4.1.1 Representación gráfica de la función $\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}$ .

\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2} — Figura 4.1.1 Representación gráfica de la función $\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}$ .

Regresando a la función brindada por el problema:

$\displaystyle f(x, y) = \sqrt{16-4x^2-y^2}$

$\displaystyle z = \sqrt{16-4x^2-y^2}$

$z^2 = 16-4x^2-y^2$

Si $x=0$ y $y=0$ :

$z^2 = 16$

$z=4$

Por tanto, el rango para esta función es:

$0 \le z \le 4$

Y finalmente:

$\displaystyle f(x, y) = z = \sqrt{16-4x^2-y^2}$

$z^2 = 16 - 4x^2 - y^2$

$4x^2+y^2+z^2=16$

$\displaystyle \frac{4x^2}{16} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{16} = 1$

$\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{16} = 1$

Y esta representa una elipsoide.

Dominio y alcance en funciones de dos variables. Problemas resueltos.

1.- $\displaystyle f(x, y) = \sqrt{4-x^2-y^2}$

Dominio: $\left\{(x, y):x^2+y^2 \le 4\right\}$

Alcance: $0 \le z \le 2$

2.- $f(x, y) = \arcsin{(x+y)}$

Dominio: $\left\{(x, y): -1 \le x+y \le 1\right\}$

Alcance: $\displaystyle \frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$

3.- $\displaystyle f(x, y) = \ln{(4-x-y)}$

Dominio: $\left\{(x, y):y<-x+4 \right\}$

Alcance: $\Re$

4.- $\displaystyle z = \frac{x+y}{xy}$

Dominio: $\left\{(x,y): x \ne 0, y\ne 0 \right\}$

Alcance: $\Re$

5.- $\displaystyle f(x, y) = {e}^{\frac{x}{y}}$

Dominio: $\left\{(x, y):y \ne 0 \right\}$

Alcance: $z<0$ 6.- $\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{xy}$ Dominio: $\left\{(x, y):x \ne 0 , y \ne 0 \right\}$ Alcance: $|z|> 0$

Problemas resueltos.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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