Movimiento de proyectiles. Cálculo vectorial.

Introducción

Fuerza gravitatoria

$\overrightarrow{F} = - mg \overrightarrow{j}$

Aceleración del proyectil

$\overrightarrow{a} = -g \overrightarrow{j}$

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la masa $m$ que se lanza desde la posición inicial ${\overrightarrow{r}}_{0}$ con una velocidad inicial ${\overrightarrow{v}}_{0}$ .

Imagen1 — *Figura 1 Representación gráfica del proyectil del problema 1.*

Solución. A partir de la ecuación de la aceleración, se obtiene el vector velocidad

$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{a}(t)$

$d\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a}(t) dt$

$\displaystyle \int {d\overrightarrow{v}} = \int{\overrightarrow{a}(t) dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \left[\int {(-g) \ dt} \right] \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \left[-g\int{dt} \right] \overrightarrow{j} = (-gt+C_1) \overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{v}(t) = -gt \overrightarrow{j} + C_1 \overrightarrow{j}$

Si $\overrightarrow{v}(0) = {\overrightarrow{v}}_{0}$

$\overrightarrow{v}(t) = -gt \overrightarrow{j} + C_1 \overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{v}(0) = 0\overrightarrow{j} + C_1 \overrightarrow{j}$

${\overrightarrow{v}}_{0} = C_1 \overrightarrow{j}$

$\therefore \overrightarrow{v}(t) = -gt \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0}$

Ahora

$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v}(t)$

$d\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}(t) \ dt$

$\displaystyle {d\overrightarrow{r}} = \int{\overrightarrow{v}(t) \ dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \int{[-gt \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0}] \ dt}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left[-g \int{t \ dt} \right] \overrightarrow{j} + \left[\int{({\overrightarrow{v}}_{0}) dt} \right] = \left(-\frac{gt^2}{2} + C_2 \right)\overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0} t$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = -\frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + C_2 \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0} t$

Si $\overrightarrow{r}(0) = {\overrightarrow{r}}_{0}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) =- \frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + C_2 \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0} t$

$\overrightarrow{r}(0) = 0 \overrightarrow{j} + C_2 \overrightarrow{j} + 0$

${\overrightarrow{r}}_{0} = C_2 \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \therefore \overrightarrow{r}(t) = -\frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + {\overrightarrow{v}}_{0} t$

Después:

$\displaystyle {\overrightarrow{v}}_{0} = ||{\overrightarrow{v}}_{0}|| \cos{\theta} \overrightarrow{i} + ||{\overrightarrow{v}}_{0}||\sin{\theta} \overrightarrow{j}$

Si $||{\overrightarrow{v}}_{0}|| = {v}_{0}$

$\displaystyle {\overrightarrow{v}}_{0} = ||{\overrightarrow{v}}_{0}|| \cos{\theta} \overrightarrow{i} + ||{\overrightarrow{v}}_{0}|| \sin{\theta} \overrightarrow{j} = {v}_{0} \cos{\theta} \overrightarrow{i} + {v}_{0} \sin{\theta} \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = - \frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + {\overrightarrow{v}}_{0} t$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = -\frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + ({v}_{0} \cos{\theta} \overrightarrow{i} + {v}_{0} \sin{\theta} \overrightarrow{j})t$

$\displaystyle = - \frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + {v}_{0} t \sin{\theta} \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left(-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} \right) \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0}$

Si ${\overrightarrow{r}}_{0} = h \overrightarrow{j}$ :

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left(-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} \right) \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left (-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} \right) \overrightarrow{j} + h\overrightarrow{j}$

$\displaystyle \therefore \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left(- \frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} + h \right) \overrightarrow{j}$

Problema 2. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el inicial del suelo a 100 pies por segundo y con un ángulo de 45° respecto al suelo. Hallar la altura máxima que alcanza la pelota de béisbol. ¿Pasará por encima de una valla de 10 pies de altura localizada a 300 pies del plato de lanzamiento?

Imagen2 — *Figura 2. Representación gráfica de la trayectoria de una pelota de béisbol.*

Solución. Por medio de la ecuación del vector posición

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = ({v}_{0} t \cos{\theta}) \overrightarrow{i} \left(- \frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} + h \right) \overrightarrow{j}$

Y sustituyendo los datos siguientes

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (100t \cos{45}) \overrightarrow{i} + \left[-(32.2) \frac{t^2}{2} + 100t \sin{45} + 3 \right] \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}$

Ahora, derivando una vez con respecto a $t$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d}{dt} \left\{(100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}\right\}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [(100 \cos{45}) \frac{d}{dt} (t)] \overrightarrow{i} + [-16.1 \frac{d}{dt} (t^2) + (100 \sin{45}) \frac{d}{dt} (t) + \frac{d}{dt} (3)] \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [(100 \cos{45})(1)] \overrightarrow{i} + [-16.1(2t) + (100 \sin{45})(1) +(0)] \overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{v}(t) = 100 \cos{45} \overrightarrow{i} + (-32.2t + 100 \sin{45}) \overrightarrow{j}$

Para que la altura máxima sea alcanzada, $\displaystyle \frac{d\overrightarrow{y}}{dt} = 0$ , entonces

$\displaystyle \frac{d\overrightarrow{y}}{dt} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v}(t) = 0$

$-9.81t + 100 \sin{45} = 0$

$-9.81t = -100 \sin{45}$

$\displaystyle t = \frac{-100 \sin{45}}{-32.2}$

$\therefore t \approx 2.196 (\text{seg})$

Así que, de la ecuación del vector posición

$\overrightarrow{r}(t) = (100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}$

Se toma solo la ecuación $y(t)$

$y(t) = -16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3$

Si $t=2.196$

$y(2.196) = -16.1{(2.196)}^{2} + (100 \sin{45})(2.196) + 3$

$y(2.196) = -77.6409 + 155.2806 + 3$

Por lo tanto, altura máxima es

$\therefore y(2.196) = 80.6397 (\text{ft})$

Para saber si pasa por encima de la valla, solo basta tomar la ecuación $x(t)$ por parte del vector posición

$\overrightarrow{r}(t) = (100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}$

$x(t) = (100 \cos{45})t$

Si $x=300 (ft)$

$300 = (100 \cos{45})t$

$\displaystyle t = \frac{300}{100 \sin{45}}$

$t \approx 4.243 (\text{seg})$

Entonces, si $t=4.243$

$y(t) = -16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3$

$y(4.243) = -16.1{(4.243)}^{2} + (100 \sin{45})(4.243) + 3$

$= -289.8491 + 300.0254 + 3$

$\therefore y \approx 13.1763 (\text{ft})$

Como

$13.1763 > 10$

Se concluye que la pelota si rebasará la valla de 10 ft.

Problema 3. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lanzado desde una altura de 10 pies sobre el suelo con una velocidad inicial de 88 pies por segundo y con un ángulo de 30° sobre la horizontal.

Imagen3 — *Figura 3. Representación gráfica de la trayectoria de un proyectil.*

Solución. De la ecuación general para proyectiles demostrada anteriormente

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + (-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} + h) \overrightarrow{j}$

Se reemplazan los valores que se necesitan brindados por el problema en la ecuación vector posición

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (88)t \cos{30} \overrightarrow{i} + [-\frac{32.2 t^2}{2} + (88)t \sin{30} + 10] \overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{r}(t) = 88 \cos{30} t \overrightarrow{i} + [-16.6t^2 + (88\sin{30})t + 10] \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) =88(\frac{\sqrt{3}}{2})t \overrightarrow{i} +[-16.6t^2 + 88(\frac{1}{2})t + 10] \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 44\sqrt{3} \overrightarrow{i} + (-16.6t^2 + 44t + 10) \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 44\sqrt{3} t \overrightarrow{i} + (-16.6t^2 + 44t + 10) \overrightarrow{j}$

Ahora, para obtener la altura máxima, se realiza lo siguiente

$\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}$

$\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 44\sqrt{3} t \overrightarrow{i} + (-16.6t^2 + 44t + 10) \overrightarrow{j}$

Donde, las ecuaciones a tomar son

$\displaystyle x(t) = 44\sqrt{3}t$

$y(t) = -16.6t^2 + 44t + 10$

Tomando $y(t)$ y derivándolo

$y(t) = -16.6t^2 + 44t + 10$

$\displaystyle \frac{d}{dt} [y(t)] = \frac{d}{dt} [-16.6t^2+44t+10]$

$\displaystyle {y}^{'} (t) = -16.6[\frac{d}{dt} (t^2 )] + 44[\frac{d}{dt} (t)] + \frac{d}{dt}(10)$

${y}^{'} (t) = -16.6(2t) + 44(1) + 0 = -32.2t + 44$

${y}^{'} (t) = -32.2t + 44$

Ahora, al hacer que ${y}^{'} (t) = 0$ se despeja la variable $t$ para conocer el tiempo necesario

${y}^{'} (t) = -32.2t + 44$

$0 = -32.2t + 44$

$32.2t = 44$

$\displaystyle t = \frac{44}{32.2}$

$t \approx 1.366 (\text{seg})$

Sustituyendo el valor de $t$ en $y(t)$

$y(t) = -16.6t^2 + 44t + 10$

$y(1.366) = -16.6{(1.366)}^{2} + 44(1.366) + 10$

$\therefore y(1.366) = 39.1291 (\text{ft})$

Por lo tanto, la altura máxima que llega el proyectil es de 39.13 ft.

Deja una respuesta Cancelar la respuesta

Introduce aquí tu comentario...

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Correo electrónico (obligatorio) (La dirección no se hará pública)

Nombre (obligatorio)

Web

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Salir / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Salir / Cambiar )

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Salir / Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.

Introducción

Problemas resueltos

Comparte esto:

Me gusta esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja una respuesta Cancelar la respuesta