blog, cálculo vectorial

Movimiento de proyectiles. Cálculo vectorial.

Introducción

Fuerza gravitatoria

\overrightarrow{F} = - mg \overrightarrow{j}

Aceleración del proyectil

\overrightarrow{a} = -g \overrightarrow{j}

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la masa  m que se lanza desde la posición inicial {\overrightarrow{r}}_{0} con una velocidad inicial {\overrightarrow{v}}_{0}.

Imagen1
Figura 1 Representación gráfica del proyectil del problema 1.

Solución. A partir de la ecuación de la aceleración, se obtiene el vector velocidad

\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{a}(t)

d\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a}(t) dt

\displaystyle \int {d\overrightarrow{v}} = \int{\overrightarrow{a}(t) dt}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \left[\int {(-g) \ dt} \right] \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \left[-g\int{dt} \right] \overrightarrow{j} = (-gt+C_1) \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(t) = -gt \overrightarrow{j} + C_1 \overrightarrow{j}

Si \overrightarrow{v}(0) = {\overrightarrow{v}}_{0}

\overrightarrow{v}(t) = -gt \overrightarrow{j} + C_1 \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(0) = 0\overrightarrow{j} + C_1 \overrightarrow{j}

{\overrightarrow{v}}_{0} = C_1 \overrightarrow{j}

\therefore \overrightarrow{v}(t) = -gt \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0}

Ahora

\displaystyle \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v}(t)

d\overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}(t) \ dt

\displaystyle {d\overrightarrow{r}} = \int{\overrightarrow{v}(t) \ dt}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \int{[-gt \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0}] \ dt}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \left[-g \int{t \ dt} \right] \overrightarrow{j} + \left[\int{({\overrightarrow{v}}_{0}) dt} \right] = \left(-\frac{gt^2}{2} + C_2 \right)\overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0} t

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = -\frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + C_2 \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0} t

Si \overrightarrow{r}(0) = {\overrightarrow{r}}_{0}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) =- \frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + C_2 \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{v}}_{0} t

\overrightarrow{r}(0) = 0 \overrightarrow{j} + C_2 \overrightarrow{j} + 0

{\overrightarrow{r}}_{0} = C_2 \overrightarrow{j}

\displaystyle \therefore \overrightarrow{r}(t) = -\frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + {\overrightarrow{v}}_{0} t

Después:

\displaystyle {\overrightarrow{v}}_{0} = ||{\overrightarrow{v}}_{0}|| \cos{\theta} \overrightarrow{i} + ||{\overrightarrow{v}}_{0}||\sin{\theta} \overrightarrow{j}

Si ||{\overrightarrow{v}}_{0}|| = {v}_{0}

\displaystyle {\overrightarrow{v}}_{0} = ||{\overrightarrow{v}}_{0}|| \cos{\theta} \overrightarrow{i} + ||{\overrightarrow{v}}_{0}|| \sin{\theta} \overrightarrow{j} = {v}_{0} \cos{\theta} \overrightarrow{i} + {v}_{0} \sin{\theta} \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = - \frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + {\overrightarrow{v}}_{0} t

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = -\frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + ({v}_{0} \cos{\theta} \overrightarrow{i} + {v}_{0} \sin{\theta} \overrightarrow{j})t

\displaystyle = - \frac{gt^2}{2} \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0} + {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + {v}_{0} t \sin{\theta} \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left(-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} \right) \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0}

Si {\overrightarrow{r}}_{0} = h \overrightarrow{j}:

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left(-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} \right) \overrightarrow{j} + {\overrightarrow{r}}_{0}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left (-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} \right) \overrightarrow{j} + h\overrightarrow{j}

\displaystyle \therefore \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + \left(- \frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} + h \right) \overrightarrow{j}

Problema 2. Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el inicial del suelo a 100 pies por segundo y con un ángulo de 45° respecto al suelo. Hallar la altura máxima que alcanza la pelota de béisbol. ¿Pasará por encima de una valla de 10 pies de altura localizada a 300 pies del plato de lanzamiento?

Imagen2
Figura 2. Representación gráfica de la trayectoria de una pelota de béisbol.

Solución. Por medio de la ecuación del vector posición

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = ({v}_{0} t \cos{\theta}) \overrightarrow{i} \left(- \frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} + h \right) \overrightarrow{j}

Y sustituyendo los datos siguientes

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (100t \cos{45}) \overrightarrow{i} + \left[-(32.2) \frac{t^2}{2} + 100t \sin{45} + 3 \right] \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}

Ahora, derivando una vez con respecto a t

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d}{dt} \left\{(100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}\right\}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [(100 \cos{45}) \frac{d}{dt} (t)] \overrightarrow{i} + [-16.1 \frac{d}{dt} (t^2) + (100 \sin{45})  \frac{d}{dt} (t) + \frac{d}{dt} (3)] \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [(100 \cos{45})(1)] \overrightarrow{i} + [-16.1(2t) + (100 \sin{45})(1) +(0)] \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(t) = 100 \cos{45} \overrightarrow{i} + (-32.2t + 100 \sin{45}) \overrightarrow{j}

Para que la altura máxima sea alcanzada, \displaystyle \frac{d\overrightarrow{y}}{dt} = 0, entonces

\displaystyle \frac{d\overrightarrow{y}}{dt} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v}(t) = 0

-9.81t + 100 \sin{45} = 0

-9.81t = -100 \sin{45}

\displaystyle t = \frac{-100 \sin{45}}{-32.2}

\therefore t \approx 2.196 (\text{seg})

Así que, de la ecuación del vector posición

\overrightarrow{r}(t) = (100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}

 Se toma solo la ecuación y(t)

y(t) = -16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3

Si t=2.196

y(2.196) = -16.1{(2.196)}^{2} + (100 \sin{45})(2.196) + 3

y(2.196) = -77.6409 + 155.2806 + 3

Por lo tanto, altura máxima es

\therefore y(2.196) = 80.6397 (\text{ft})

Para saber si pasa por encima de la valla, solo basta tomar la ecuación x(t) por parte del vector posición

\overrightarrow{r}(t) = (100 \cos{45})t \overrightarrow{i} + [-16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3] \overrightarrow{j}

x(t) = (100 \cos{45})t

Si x=300 (ft)

300 = (100 \cos{45})t

\displaystyle t = \frac{300}{100 \sin{45}}

t \approx 4.243 (\text{seg})

Entonces, si t=4.243

y(t) = -16.1t^2 + (100 \sin{45})t + 3

y(4.243) = -16.1{(4.243)}^{2} + (100 \sin{45})(4.243) + 3

= -289.8491 + 300.0254 + 3

\therefore y \approx 13.1763 (\text{ft})

Como

13.1763 > 10

Se concluye que la pelota si rebasará la valla de 10 ft.

Problema 3. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lanzado desde una altura de 10 pies sobre el suelo con una velocidad inicial de 88 pies por segundo y con un ángulo de 30° sobre la horizontal.

Imagen3
Figura 3. Representación gráfica de la trayectoria de un proyectil.

Solución. De la ecuación general para proyectiles demostrada anteriormente

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = {v}_{0} t \cos{\theta} \overrightarrow{i} + (-\frac{gt^2}{2} + {v}_{0} t \sin{\theta} + h) \overrightarrow{j}

Se reemplazan los valores que se necesitan brindados por el problema en la ecuación vector posición

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = (88)t \cos{30} \overrightarrow{i} + [-\frac{32.2 t^2}{2} + (88)t \sin{30} + 10] \overrightarrow{j}

\overrightarrow{r}(t) = 88 \cos{30} t \overrightarrow{i} + [-16.6t^2 + (88\sin{30})t + 10] \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) =88(\frac{\sqrt{3}}{2})t \overrightarrow{i} +[-16.6t^2 + 88(\frac{1}{2})t + 10] \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 44\sqrt{3} \overrightarrow{i} + (-16.6t^2 + 44t + 10) \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 44\sqrt{3} t \overrightarrow{i} + (-16.6t^2 + 44t + 10) \overrightarrow{j}

Ahora, para obtener la altura máxima, se realiza lo siguiente

\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 44\sqrt{3} t \overrightarrow{i} + (-16.6t^2 + 44t + 10) \overrightarrow{j}

 Donde, las ecuaciones a tomar son

\displaystyle x(t) = 44\sqrt{3}t

y(t) = -16.6t^2 + 44t + 10

Tomando y(t) y derivándolo

y(t) = -16.6t^2 + 44t + 10

\displaystyle \frac{d}{dt} [y(t)] = \frac{d}{dt} [-16.6t^2+44t+10]

\displaystyle {y}^{'} (t) = -16.6[\frac{d}{dt} (t^2 )] + 44[\frac{d}{dt} (t)] + \frac{d}{dt}(10)

{y}^{'} (t) = -16.6(2t) + 44(1) + 0 = -32.2t + 44

{y}^{'} (t) = -32.2t + 44

Ahora, al hacer que {y}^{'} (t) = 0 se despeja la variable t para conocer el tiempo necesario

{y}^{'} (t) = -32.2t + 44

0 = -32.2t + 44

32.2t = 44

\displaystyle t = \frac{44}{32.2}

t \approx 1.366 (\text{seg})

Sustituyendo el valor de t en y(t)

y(t) = -16.6t^2 + 44t + 10

y(1.366) = -16.6{(1.366)}^{2} + 44(1.366) + 10

\therefore y(1.366) = 39.1291 (\text{ft})

Por lo tanto, la altura máxima que llega el proyectil es de 39.13 ft.


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