blog, cálculo vectorial

Velocidad y aceleración. Primera parte. Cálculo vectorial.

Introducción

El vector posición se representa como:

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}

Velocidad y aceleración

Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivada y \overrightarrow{r} es una función vectorial dada por \overrightarrow{r}(t) = x(t)\overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}, entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como:

\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(t) = {\overrightarrow{r}}^{'} (t) = {x}^{'} (t) \overrightarrow{i} + {y}^{'}(t) \overrightarrow{j}

\overrightarrow{a}(t) = {\overrightarrow{r}}^{''}(t) = {\overrightarrow{v}}^{'} (t) = {x}^{''}(t) \overrightarrow{i} + {y}^{''}(t) \overrightarrow{j}

\displaystyle ||\overrightarrow{v}|| = ||\overrightarrow{r}^{'} (t)|| = \sqrt{{[{x}^{'}(t)]}^{2} + {[{y}^{'}(t)]}^{2}}

NOTA. Se utilizará estas fórmulas para curvas en el espacio con solo agregar z(t), {z}^{'}(t), {z}^{''}(t), es decir:

\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j} + z(t) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{v}(t) = {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = {x}^{'}(t) \overrightarrow{i} + {y}^{'}(t) \overrightarrow{j} + {z}^{'}(t) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{a}(t) = {\overrightarrow{r}}^{''}(t) = {\overrightarrow{v}}^{'}(t) = {x}^{''}(t) \overrightarrow{i} + {y}^{''}(t) \overrightarrow{j} + {z}^{''}(t) \overrightarrow{k}

\displaystyle ||\overrightarrow{v}|| = ||{\overrightarrow{r}}^{'}(t)|| = \sqrt{{[{x}^{'}(t)]}^{2} + {[y(t)]}^{2} + {[z(t)]}^{2}}

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar la velocidad y aceleración a lo largo de una curva dada:

\overrightarrow{r}(t) = 2 \sin{\frac{t}{2}} \overrightarrow{i} + 2 \cos{\frac{t}{2}} \overrightarrow{j}

Solución. Para obtener la función vectorial de la velocidad, se deriva, una vez, la función vectorial con respecto a t

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = {\overrightarrow{r}}^{'}(t) = [\frac{d}{dt} (2 \sin{\frac{t}{2}})] \overrightarrow{i} + [2 \cos{\frac{t}{2}}] \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = 2(\frac{1}{2}) \cos{\frac{t}{2}} \overrightarrow{i} + 2(\frac{1}{2})(-\sin{\frac{t}{2}}) \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \cos{\frac{t}{2}} \overrightarrow{i} - \sin{\frac{t}{2}} \overrightarrow{j}

Y para obtener la función vectorial de la aceleración, se deriva la función vectorial de la velocidad, una vez, con respecto a t

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = {\overrightarrow{v}}^{'} (t)

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = \frac{d}{dt} (\cos{\frac{t}{2}}) \overrightarrow{i} - \frac{d}{dt} (\sin{\frac{t}{2}}) \overrightarrow{j}

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = -(\frac{1}{2} \sin{\frac{t}{2}}) \overrightarrow{i} - (\frac{1}{2} \cos{\frac{t}{2}}) \overrightarrow{j}

Para obtener la rapidez, se calcula la magnitud de la función vectorial de la velocidad:

\displaystyle ||\overrightarrow{v}(t)|| = \sqrt{{[x(t)]}^{2} + {[y(t)]}^{2}}

\displaystyle ||\overrightarrow{v}(t)|| = \sqrt{{(-\frac{1}{2} \sin{\frac{t}{2}})}^{2} + {(-\frac{1}{2} \cos{\frac{t}{2}})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} {(\sin{\frac{t}{2}})}^{2} + \frac{1}{4} {(\cos{\frac{t}{2}})}^{2}}

\displaystyle ||\overrightarrow{v}(t)|| = \sqrt{{(\sin{\frac{t}{2}})}^{2} + {(\cos{\frac{t}{2}})}^{2}} = \sqrt{1}

\displaystyle ||\overrightarrow{v}(t)|| = 1

Problema 2. Dibujar de los vectores velocidad y aceleración en el plano

\overrightarrow{r}(t) = (t^2-4) \overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j}

para t=0 y t=2.

Solución. De la función vectorial posición

\overrightarrow{r}(t) = (t^2 - 4) \overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j}

Se deriva una vez con respecto a t para obtener la función vectorial de la velocidad

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \frac{d}{dt} [(t^2-4) \overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j}]

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [\frac{d}{dt} (t^2-4)] \overrightarrow{i} + [\frac{d}{dt} (t)] \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(t) = 2t \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

Y se deriva una vez, este último resultado, con respecto a t para obtener la función vectorial de la aceleración

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = \frac{d \overrightarrow{v}}{dt}

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = \frac{d}{dt} [2t \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}]

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = [\frac{d}{dt} (2t)] \overrightarrow{i} + [\frac{d}{dt} (1)] \overrightarrow{j}

\overrightarrow{a}(t) = 2\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}

Para t=0, en el caso del vector velocidad

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = 2t \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(0) = 2(0) \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(0) = 0\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

Y para el vector aceleración

\overrightarrow{a}(t) = 2\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}

\overrightarrow{a}(0) = 2\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}

Para t=2, para el vector velocidad

\overrightarrow{v}(t) = 2t \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(2) = 2(2) \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

\overrightarrow{v}(2) = 4\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}

Y para el vector aceleración

\overrightarrow{a}(t) = 2\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}

\overrightarrow{a}(2) = 2\overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j}

También, para el vector posición

\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}

\overrightarrow{r}(t) = (t^2 - 4) \overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j}

donde x(t) = t^2 - 4y(t) = t.

Para t=0, sustituyéndolo en x(t)

x(t) = t^2 - 4

x(0) = 0^2 - 4 = 0 - 4

x(0) = -4

Y sustituyéndolo en y(t)

y(0) = 0

Por lo tanto, cuando t=0, los vectores velocidad y aceleración estarán ubicados en el punto (-4,0).

Para t=2, sustituyéndolo en x(t)

x(t) = t^2 - 4

x(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4

x(2) = 0

Y sustituyéndolo en y(t)

y(2) = 2

Por lo tanto, cuando t=2, los vectores velocidad y aceleración estarán ubicados en el punto (0,2).

Imagen1
Figura 1. Representación gráfica de los vectores velocidad y aceleración para la función vectorial «\overrightarrow{r}(t)=(t^2-4) \overrightarrow{i} + t\overrightarrow{j}«.

Problema 3. Dibuje de los vectores velocidad y aceleración en el espacio para

\overrightarrow{r}(t) = t \overrightarrow{i} + t^3 \overrightarrow{j} + 3t \overrightarrow{k}

donde t \ge 0 para t=1.

Solución. Para la obtener la función vectorial de la velocidad, se deriva la función vectorial con respecto a t en ambos miembros

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \frac{d \overrightarrow{r}}{dt} = \frac{d}{dt} [t \overrightarrow{i} + t^3 \overrightarrow{j} + 3t \overrightarrow{k}]

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [\frac{d}{dt} (t)] \overrightarrow{i} + [\frac{d}{dt} (t^3 )] \overrightarrow{j} + [\frac{d}{dt} (3t)] \overrightarrow{k}

\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{i} + 3t^2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}

Si t=1 y sustituyéndolo en la función vectorial de la velocidad

\overrightarrow{v}(t) = \overrightarrow{i} + 3t^2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}

\overrightarrow{v}(1) = \overrightarrow{i} + 3(1)^2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}

\overrightarrow{v}(1) = \overrightarrow{i} + 3 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}

Para obtener la función vectorial de la aceleración, se deriva una vez con respecto a t la función vectorial de la velocidad

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d}{dt} [\overrightarrow{i} + 3t^2 \overrightarrow{j} + 3 \overrightarrow{k}]

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = [\frac{d}{dt} (1)] \overrightarrow{i} + [\frac{d}{dt} (3t^2 )] \overrightarrow{j} + [\frac{d}{dt} (3)] \overrightarrow{k}

\overrightarrow{a}(t) = 0\overrightarrow{i} + 6t \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}

Si t=1 y sustituyéndolo en la función vectorial de la aceleración

\overrightarrow{a}(t) = 0 \overrightarrow{i} + 6t \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}

\overrightarrow{a}(1) = 0\overrightarrow{i} + 6(1) \overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}

\overrightarrow{a}(1) = 0\overrightarrow{i} + 6 \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}

Para la función vectorial de la posición

\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j} + z(t) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{r}t) = t \overrightarrow{i} + t^3 \overrightarrow{j} + 3t \overrightarrow{k}

Se observa que x(t) = t, y(t)=t^3, z(t)=3t.

Para t=1, se sustituye en las ecuaciones paramétricas de la función vectorial de la posición

x(t)=t

x(1) = 1

y(t)=t^3

y(1)=1^3

y(1)=1

z(t)=3t

z(1)=3(1)

z(1)=3

Por lo tanto, en t=1, los vectores velocidad y posición estarán ubicados en la coordenada (1,1,3).

Imagen2
Figura 2. Representación gráfica de la función vectorial \overrightarrow{r}(t) = t \overrightarrow{i} + t^3 \overrightarrow{j} + 3t \overrightarrow{k}.

Problema 4. Hallar una función posición por integración para

P(1, 2, 0)  y  \overrightarrow{a}(t) = \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}

en t=2.

Solución. Utilizando P(1, 2, 0) y expresándolo en función vectorial simulando cuando t=0

\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j} + z(t) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{r}(0) = x(0) \overrightarrow{i} + y(0) \overrightarrow{j}+ z(0) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{r}(0) = \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}

Entonces, partiendo de la aceleración y despejando la diferencial del vector de la velocidad

\displaystyle \overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}

\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{a}(t)

\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a}(t) dt

\displaystyle \int{dv} = \int {\overrightarrow{a}(t)  dt}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \int {\overrightarrow{a}(t) dt}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = \int {(\overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k}) dt}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [\int {dt}] \overrightarrow{j} + [2\int{dt}] \overrightarrow{k}

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = [0 \int {dt}] \overrightarrow{i} + [\int{dt}] \overrightarrow{j} + [2\int {dt}] \overrightarrow{k}

\overrightarrow{v}(t) = C_1 \overrightarrow{i} + (t + C_2) \overrightarrow{j} + (2t + C_3) \overrightarrow{k}

Si \overrightarrow{v}(0) = \overrightarrow{0} = 0 \overrightarrow{i} + 0 \overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k}

\overrightarrow{v}(0) = C_1 \overrightarrow{i} + (0 + C_2) \overrightarrow{j} + (0 + C_3) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{0} = C_1 \overrightarrow{i} + (0 + C_2) \overrightarrow{j} + (0 + C_3) \overrightarrow{k}

0 \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k} = C_1 \overrightarrow{i} + (0+C_2 ) \overrightarrow{j} + (0+C_3) \overrightarrow{k}

Entonces, las ecuaciones al ser resueltas son

0 = {C}_{1}

{C}_{1} = 0

0 = 0 + C_2

{C}_{2} = 0

0 = 0 + C_3

{C}_{3} = 0

Sustituyendo en el resultado de la velocidad

\displaystyle \overrightarrow{v}(t) = 0\overrightarrow{i} + (t+C_1) \overrightarrow{j} + (2t+C_2) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{v}(t) = 0\overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j} + 2t \overrightarrow{k}

Ahora

\displaystyle \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v}(t)

d \overrightarrow{r} = \overrightarrow{v}(t) \ dt

\displaystyle \int {d\overrightarrow{r}} = \int{\overrightarrow{v}(t) \ dt}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \int {\overrightarrow{v}(t) \ dt}

d\overrightarrow{r}(t) = \int {(0 \overrightarrow{i} + t \overrightarrow{j} + 2t \overrightarrow{k}) \ dt}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = [0 \int {dt}] \overrightarrow{i} + [\int{t \ dt}] \overrightarrow{j} + [2 \int{t \ dt}] \overrightarrow{k}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + 2(\frac{t^2}{2} + C_6) \overrightarrow{k}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (t^2+C_6) \overrightarrow{k}

Para \overrightarrow{r}(0) = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0\overrightarrow{k}

\overrightarrow{r}(0) = C_4 \overrightarrow{i} + (0 + C_5) \overrightarrow{j} + (0 + C_6) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0 \overrightarrow{k} = C_4 \overrightarrow{i} + (0+C_5) \overrightarrow{j} + (0+C_6)\overrightarrow{k}

Igualando los términos de cada vector unitario se obtienen tres ecuaciones y al ser resueltas, se obtienen los valores de cada constante de integración

1=C_4

C_4=1

2=0+C_5

C_5 = 2

0 = 0 + C_6

C_6=0

Por lo tanto

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = C_4 \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + C_5) \overrightarrow{j} + (t^2 + C_6) \overrightarrow{k}

\overrightarrow{r}(t) = \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + 2) \overrightarrow{j} + t^2 \overrightarrow{k}

Por último, si t=2

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = \overrightarrow{i} + (\frac{t^2}{2} + 2) \overrightarrow{j} + t^2 \overrightarrow{k}

\displaystyle \overrightarrow{r}(2) = \overrightarrow{i} + (\frac{2^2}{2} + 2) \overrightarrow{j} + 2^2 \overrightarrow{k}

\overrightarrow{r}(2) = \overrightarrow{i} + 4 \overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}


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