cálculo vectorial

Curvas en el espacio y funciones vectoriales. Cálculo vectorial.

Función vectorial

Una función de la forma

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = f(t) \overrightarrow{i} + g(t)\overrightarrow{j}en el plano.
\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = f(t)\overrightarrow{i} + g(t)\overrightarrow{j} + h(t)\overrightarrow{k}en el espacio.

es una función vectorial, donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t. Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como:

\overrightarrow{r}(t) = <f(t), g(t)>

\overrightarrow{r}(t) = <f(t), g(t), h(t)>

Trazado de una curva. Problemas resueltos.

Problema 1. Graficar la siguiente función: \overrightarrow{r}(t) = 2\cos{t} \overrightarrow{i} - 3 \sin{t} \overrightarrow{j}, en 0 \le t \le 2\pi.

Solución. De las ecuaciones, se despejan los términos trigonométricos:

x = 2\cos{t}  y  y = -3\sin{t}

\displaystyle \frac{x}{2} = \cos{t}  y  \displaystyle -\frac{y}{3} = \sin{t}

Recordando que {\sin}^{2}{\theta} + {\cos}^{2}{\theta} = 1 y cambiando de “θ” por “t”, es decir, {\sin}^{2}{t} + {\cos}^{2}{t} = 1, se realiza lo siguiente

{(\sin{t})}^{2} + {(\cos{t})}^{2} = 1

\displaystyle {(-\frac{y}{3})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2} = 1

\displaystyle \frac{y^2}{9} + \frac{x^2}{4} = 1

\displaystyle \therefore \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1

Lo cual, representa una ecuación de una elipse vertical con centro en el origen.

Diapositiva5
Figura 1.Representación gráfica del trazado de una curva, para la elipse obtenido  \displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1.

Trazado de una curva en el espacio. Problemas resueltos.

Problema 2. Graficar la siguiente función: \displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 4\cos{t} \overrightarrow{i} + 4 \sin{t}\overrightarrow{j} + t\overrightarrow{k}0 \le t \le 4\pi.

Imagen1
Figura 2. Representación gráfica de la función vectorial \displaystyle \overrightarrow{r}(t) = 4\cos{t} \overrightarrow{i} + 4 \sin{t}\overrightarrow{j} + t\overrightarrow{k}.

Solución. De la función \overrightarrow{r}(t) = 4 \cos{t} \overrightarrow{i} + 4 \sin{t} \overrightarrow{j} + t \overrightarrow{k}, se pueden identificar que, en la ecuación de “x”

x(t) = 4 \cos{t}

x = 4 \cos{t}

\displaystyle \frac{x}{4} = \cos{t}

Y en la ecuación de y

y(t) = 4 \sin{t}

y = 4 \sin{t}

\displaystyle \frac{y}{4} = \sin{t}

Ahora, utilizando la identidad trigonométrica {\sin}^{2}{\theta} + {\cos}^{2}{\theta} = 1, y cambiando la variable “θ” por “t”, es decir, {\sin}^{2}{t} + {\cos}^{2}{t} = 1, se reemplaza lo siguiente

{\sin}^{2}{t} + {\cos}^{2}{t} = 1

{(\sin{t})}^{2} + {(\cos{t})}^{2} = 1

\displaystyle {(\frac{y}{4})}^{2} + {(\frac{x}{4})}^{2} = 1

\displaystyle \frac{y^2}{16} + \frac{x^2}{16} = 1

\displaystyle \therefore \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1

Lo cual, representa una ecuación de una elipse horizontal con centro en el origen.

Diapositiva9
Figura 3. Representación gráfica del trazado de una curva, para la elipse obtenido  \displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1.

Representación gráfica de una función vectorial. Problemas resueltos.

Problema 3. Representar en función vectorial la siguiente función rectangular y = x^2 + 1. Una función vectorial de \displaystyle \overrightarrow{r}(t) = t\overrightarrow{i} + (t^2 + 1) \overrightarrow{j}, para una semielipsoide \displaystyle \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{24} + \frac{z^2}{4} = 1, donde z \ge 0.

Solución. Despejando la variable z

\displaystyle \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{24} + \frac{z^2}{4} = 1

\displaystyle \frac{z^2}{4} = 1 - \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{24}

\displaystyle z^2 = 4 - \frac{4}{12} x^2 - \frac{4}{24} y^2 = 4 - \frac{1}{3} x^2 - \frac{1}{6} y^2

\displaystyle z = \frac{24 - 2x^2 - y^2}{6}

Reemplazando x = t y y = x^2, se despeja z

\displaystyle z^2 = \frac{24-2t^2-t^4}{6}

\displaystyle z = \sqrt{\frac{24-2t^2-t^4}{6}}

Si z=0, se tiene que

\displaystyle 0 = \frac{24-2t^2-t^4}{6}

24 - 2t^2 - t^4 = 0

t^4 + 2t^2 - 24 = 0

Utilizando la fórmula general

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Se reemplaza x por “t^2” en el primer miembro

\displaystyle t^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Entonces los coeficientes a utilizar son a=1, b=2, c=-24. Así que sustituyendo en la ecuación:

\displaystyle t^2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle t^2 = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-24)}}{2(1)}

\displaystyle t^2 = \frac{-2 \pm \sqrt{4+96}}{2}

\displaystyle t^2 = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}

La primera solución es

\displaystyle {t_1}^{2} = \frac{-2+10}{2} = \frac{8}{2} = 4

\displaystyle {t}_{1} = \pm \sqrt{4} = \pm 2

La segunda solución es

\displaystyle {t_2}^{2} = \frac{-2-10}{2} = - \frac{12}{2} = -6

\displaystyle {t_2} = \sqrt{-6} = i\sqrt{6}

Así que solo se tomará la primera solución. Por lo tanto el intervalo que toma todos los valores deberán estar entre -2 \le t \le 2, así que

\overrightarrow{r}(t) = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k}

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = t \overrightarrow{i} + t^2 \overrightarrow{j} + (\sqrt{\frac{24 - 2t^2 - t^4}{6}}) \overrightarrow{k}

para -2 \le t \le 2.

Límites y continuidad. Límites de una función vectorial.

1.- Si \overrightarrow{r} es una función vectorial tal que \overrightarrow{r}(t) = f(t) \overrightarrow{i} + g(t) \overrightarrow{j}, entonces:

\displaystyle \lim_{t \rightarrow a}{\overrightarrow{r}(t)} = [\lim_{t \rightarrow a}{f(t)}] \overrightarrow{i} + [\lim_{t \rightarrow a}{g(t)}] \overrightarrow{j}

en caso de que  \overrightarrow{r} (t) está en el plano.

Siempre que existan los límites de f  y g cuando t \rightarrow a.

2.- Si \overrightarrow{r} es una función vectorial tal que \overrightarrow{r}(t) = f(t) \overrightarrow{i} + g(t) \overrightarrow{j} + h(t) \overrightarrow{k}, entonces:

\displaystyle \lim_{t \rightarrow a}{\overrightarrow{r}(t)} = [\lim_{t \rightarrow a)}{f(t)}] \overrightarrow{i} + [\lim_{t \rightarrow a}{g(t)}] \overrightarrow{j} + [\lim_{t \rightarrow a}{h(t)}] \overrightarrow{k}

En caso de que \overrightarrow{r}(t) esté en el espacio.

Siempre que existan los límites de f, g y h cuando t \rightarrow a.

Continuidad de una función vectorial.

Una función vectorial \overrightarrow{r}(t) es continua en un punto dado por  t=a si el límite de \overrightarrow{r}(t) cuando t \rightarrow a existe y

\displaystyle \lim_{t \rightarrow a}{\overrightarrow{r}(t)} = \overrightarrow{r}(a)

Una función vectorial \overrightarrow{r}(t) es continua en un intervalo I si es continuo en todos los puntos del intervalo.

Problemas resueltos.

Problema 4. Observar la continuidad para la siguiente función vectorial:

\overrightarrow{r}(t) = t \overrightarrow{i} + a \overrightarrow{j} + (a^2-t^2 ) \overrightarrow{k}

para t=0.

Solución. En base a la función vectorial, se toman los limites en ambos miembros cuando t tiende a cero.

\displaystyle \overrightarrow{r}(t) = t \overrightarrow{i} + a \overrightarrow{j} +(a^2-t^2) \overrightarrow{k}

\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}{\overrightarrow{r}(t)} = [\lim_{t \rightarrow 0}{t}] \overrightarrow{i} + [\lim_{t \rightarrow 0}{a}] \overrightarrow{j} + [\lim_{t \rightarrow 0}{(a^2-t^2)}] \overrightarrow{k}

Por lo tanto, el resultado final es

\displaystyle \therefore \overrightarrow{r}(0) =0 \overrightarrow{i} + a \overrightarrow{j} + a^2 \overrightarrow{k}


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