aplicaciones de cálculo diferencial, blog

Ángulo de corte. Quinta parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

9 noviembre, 20172 junio, 2020 Cesar Reyes

Problema 5. Hallar los ángulos de corte para las curvas $y = x^2$ y $y^2 - 3y = 2x$ .

Imagen24 — Figura 2.5.1 Representación gráfica de las funciones «y = x^2» y «y^2 – 3y = 2x».

Solución. Se analiza si las funciones presentan puntos de corte. Para ello, se utiliza el método de sustitución.

$y = x^2$

$y^2 - 3y = 2x$

${(x^2)}^{2} - 3x^2 = 2x$

$x^4 - 3x^2 = 2x$

$x^4 - 3x^2 - 2x = 0$

$x(x^3 - 3x - 2) = 0$

Por el método de Ruffini:

$x^3 - 3x - 2 = 0$

Imagen25 — Tabla 2.5.1 Procedimiento del método de Ruffinni para la ecuación «x^3-3x-2» en donde «x=2».

El valor que se utilizó para este método fue “x=2”. La primera factorización es:

$x(x^3 - 3x - 2) = 0$

$x(x - 2)(x^2 + 2x + 1) = 0$

Una vez más:

$x(x-2)(x+1)(x+1) = 0$

Por lo que existen tres valores de “x” y son x=0, x=2 y x=-1.

Evaluando cada valor de “x” en ambas funciones, se obtienen los puntos de corte.

Imagen26 — Tabla 2.5.2 Evaluación de las funciones dadas por el problema utilizando los valores de «x» calculados.

Y graficando los puntos A(0,0), B(0,3), C(2,4), D(2,-1), E(-1,3), F(-1,1).

Imagen27 — Figura 2.5.2 Ubicación de los posibles puntos de intersección.

Se observa en la gráfica que existen al menos tres puntos de corte, las cuales son: F(-1,1), A(0,0) y C(2,4).

Después, calculando la derivada de la primera función:

$y = x^2$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x$

La derivada de la segunda función es:

$y^2 - 3y = 2x$

$\displaystyle \frac{d}{dx} (y^2 - 3y) = \frac{d}{dx} (2x)$

$\displaystyle 2y\frac{dy}{dx} - 3\frac{dy}{dx} = 2$

$\displaystyle (2y-3) \frac{dy}{dx} = 2$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y - 3}$

En el punto F(-1,1), las derivadas tendrá los siguientes resultados.

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = 2(-1) = -2$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y-3}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = \frac{2}{2(1)-3}$

$\displaystyle = \frac{2}{2-3} = \frac{2}{-1} = -2$

Imagen28 — Figura 2.5.3 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretados como rectas tangentes para el punto F(-1,1).

La primera pendiente y dirección es:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = -2$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(-2)}$

${\alpha}_{1} = 180 + \arctan{(-2)}$

${\alpha}_{1} = 180 - 63.435$ °

${\alpha}_{1} = 116.565$ °

Y la segunda pendiente y dirección es:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = -2$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

${\alpha}_{2} = \arctan{(-2)}$

${\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-2)}$

${\alpha}_{2} = 180 - 63.435$ °

${\alpha}_{2} = 116.565$ °

Por el primer método:

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 116.565 - 116.565$ °

$\therefore \theta = 0$ °

Por lo tanto, en el punto F(-1,1), las curvas no forman ningún ángulo de corte.

En el punto A(0,0), las derivadas tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = 2(0) = 0$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y-3}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = \frac{2}{2(0) - 3} = \frac{2}{0 - 3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$

Imagen29 — Figura 2.5.4 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretados como rectas tangentes en el punto A(0,0).

La primera pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = 0$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(0)}$

${\alpha}_{1} = 0$ °

Y la segunda pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = -\frac{2}{3}$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

${\alpha}_{2} = \arctan{(-\frac{2}{3})}$

${\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-\frac{2}{3})}$

${\alpha}_{2} = 180 - 33.69$ °

${\alpha}_{2} = 146.31$ °

Por el primer método:

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 146.31 - 0$ °

$\therefore \theta = 146.31$ °

Por lo tanto, en el punto A(0,0), las curvas forman un ángulo de 146.31°.

Imagen30 — Figura 2.5.5 Representación gráfica de las direcciones de ambas pendientes en el punto A(0,0).

En el punto C(2,4), las derivadas tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = 2(2) = 4$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y-3}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = \frac{2}{2(4) - 3} = \frac{2}{8-3} = \frac{2}{5}$

Imagen31 — Figura 2.5.6 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretadas como rectas tangentes en el punto C(2,4).

La primera pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = \frac{2}{5}$

$\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}} = \frac{2}{5}$

${\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}$

${\alpha}_{1} = \arctan{(\frac{2}{5})}$

${\alpha}_{1} = 21.801$ °

Y la segunda pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

$\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = 4$

$\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}$

${\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}$

${\alpha}_{2} = \arctan{(4)}$

${\alpha}_{2} = 75.964$ °

Por el primer método:

$\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}$

$\theta = 75.964 - 21.801$ °

$\therefore \theta = 54.163$ °

Por lo tanto, en el punto C(2,4), las curvas forman un ángulo de 54.163°.

Imagen32 — Figura 2.5.7 Representación gráfica de las direcciones de ambas direcciones para el punto C(2,4).

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

1 comentario en “Ángulo de corte. Quinta parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.”

terminado piezas dice:

12 septiembre, 2018 a las 2:16 am

He leido vuestro post con mucha atecion y me ha parecido util ademas de facil de leer. No dejeis de cuidar este blog es buena.
Saludos

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