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Ángulo de corte. Quinta parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 5. Hallar los ángulos de corte para las curvas y = x^2 y y^2 - 3y = 2x.

Imagen24
Figura 2.5.1 Representación gráfica de las funciones «y = x^2» y «y^2 – 3y = 2x».

Solución. Se analiza si las funciones presentan puntos de corte. Para ello, se utiliza el método de sustitución.

y = x^2

y^2 - 3y = 2x

{(x^2)}^{2} - 3x^2 = 2x

x^4 - 3x^2 = 2x

x^4 - 3x^2 - 2x = 0

x(x^3 - 3x - 2) = 0

Por el método de Ruffini:

x^3 - 3x - 2 = 0

Imagen25
Tabla 2.5.1 Procedimiento del método de Ruffinni para la ecuación «x^3-3x-2» en donde «x=2».

El valor que se utilizó para este método fue “x=2”. La primera factorización es:

x(x^3 - 3x - 2) = 0

x(x - 2)(x^2 + 2x + 1) = 0

Una vez más:

x(x-2)(x+1)(x+1) = 0

Por lo que existen tres valores de “x” y son x=0, x=2 y x=-1.

Evaluando cada valor de “x” en ambas funciones, se obtienen los puntos de corte.

Imagen26
Tabla 2.5.2 Evaluación de las funciones dadas por el problema utilizando los valores de «x» calculados.

Y graficando los puntos A(0,0), B(0,3), C(2,4), D(2,-1), E(-1,3), F(-1,1).

Imagen27
Figura 2.5.2 Ubicación de los posibles puntos de intersección.

Se observa en la gráfica que existen al menos tres puntos de corte, las cuales son: F(-1,1), A(0,0) y C(2,4).

Después, calculando la derivada de la primera función:

y = x^2

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2)

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x

La derivada de la segunda función es:

y^2 - 3y = 2x

\displaystyle \frac{d}{dx} (y^2 - 3y) = \frac{d}{dx} (2x)

\displaystyle 2y\frac{dy}{dx} - 3\frac{dy}{dx} = 2

\displaystyle (2y-3) \frac{dy}{dx} = 2

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y - 3}

En el punto F(-1,1), las derivadas tendrá los siguientes resultados.

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = 2(-1) = -2

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y-3}

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = \frac{2}{2(1)-3}

\displaystyle = \frac{2}{2-3} = \frac{2}{-1} = -2

Imagen28
Figura 2.5.3 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretados como rectas tangentes para el punto F(-1,1).

La primera pendiente y dirección es:

\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = -2

\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}

{\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

{\alpha}_{1} = \arctan{(-2)}

{\alpha}_{1} = 180 + \arctan{(-2)}

{\alpha}_{1} = 180 - 63.435°

{\alpha}_{1} = 116.565°

Y la segunda pendiente y dirección es:

\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{F(-1,1)} = -2

\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}

{\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}

{\alpha}_{2} = \arctan{(-2)}

{\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-2)}

{\alpha}_{2} = 180 - 63.435°

{\alpha}_{2} = 116.565°

Por el primer método:

\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}

\theta = 116.565 - 116.565°

\therefore \theta = 0°

Por lo tanto, en el punto F(-1,1), las curvas no forman ningún ángulo de corte.

En el punto A(0,0), las derivadas tendrán los siguientes valores:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = 2(0) = 0

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y-3}

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = \frac{2}{2(0) - 3} = \frac{2}{0 - 3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}

Imagen29
Figura 2.5.4 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretados como rectas tangentes en el punto A(0,0).

La primera pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = 0

\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}

{\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

{\alpha}_{1} = \arctan{(0)}

{\alpha}_{1} = 0°

Y la segunda pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{A(0,0)} = -\frac{2}{3}

\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}

{\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}

{\alpha}_{2} = \arctan{(-\frac{2}{3})}

{\alpha}_{2} = 180 + \arctan{(-\frac{2}{3})}

{\alpha}_{2} = 180 - 33.69°

{\alpha}_{2} = 146.31°

Por el primer método:

\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}

\theta = 146.31 - 0°

\therefore \theta = 146.31°

Por lo tanto, en el punto A(0,0), las curvas forman un ángulo de 146.31°.

Imagen30
Figura 2.5.5 Representación gráfica de las direcciones de ambas pendientes en el punto A(0,0).

En el punto C(2,4), las derivadas tendrán los siguientes valores:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = 2(2) = 4

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y-3}

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = \frac{2}{2(4) - 3} = \frac{2}{8-3} = \frac{2}{5}

Imagen31
Figura 2.5.6 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretadas como rectas tangentes en el punto C(2,4).

La primera pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = \frac{2}{5}

\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}} = \frac{2}{5}

{\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

{\alpha}_{1} = \arctan{(\frac{2}{5})}

{\alpha}_{1} = 21.801°

Y la segunda pendiente y dirección tendrán los siguientes valores:

\displaystyle {m}_{{tan}_{2}} = \frac{dy}{dx}{|}_{C(2,4)} = 4

\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}

{\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}

{\alpha}_{2} = \arctan{(4)}

{\alpha}_{2} = 75.964°

Por el primer método:

\theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}

\theta = 75.964 - 21.801°

\therefore \theta = 54.163°

Por lo tanto, en el punto C(2,4), las curvas forman un ángulo de 54.163°.

Imagen32
Figura 2.5.7 Representación gráfica de las direcciones de ambas direcciones para el punto C(2,4).

 

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