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Ángulo de corte. Segunda parte. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 2. Hallar el ángulo de corte entre \displaystyle y = \ln{(3x - \frac{x^2}{4} - 1)} y \displaystyle y = \ln{(\frac{x^3}{8} - 1)}.

Imagen11
Figura 2.2.1 Representación gráfica de las funciones «y=ln⁡(3x-x^2/4-1)» y «y=ln⁡(x^3/8-1)».

Solución. De las funciones dadas, se busca si hay algún punto corte:

\displaystyle y = \ln{(3x - \frac{x^2}{4} - 1)}

\displaystyle \ln{(\frac{x^3}{8} - 1)} = \ln{(3x - \frac{x^2}{4} - 1)}

\displaystyle \frac{x^3}{8} - 1 = 3x - \frac{x^2}{4} - 1

\displaystyle \frac{x^3}{8} - 1 - 3x + \frac{x^2}{4} + 1 = 0

\displaystyle \frac{x^3}{8} - 3x + \frac{x^2}{4} = 0

\displaystyle 8(\frac{x^3}{8} - 3x + \frac{x^2}{4}) = 0

x^3 - 24x + 2x^2 = 0

x^3 + 2x^2 - 24x = 0

x(x^2 + 2x - 24) = 0

x(x + 6)(x - 4) = 0

Entonces, los tres valores de x son x=0, x=-6 y x=4. A continuación, se evaluarán estos valores en las funciones.

Imagen12
Tabla 2.2.1 Evaluación de las funciones brindadas por el problema por medio de los valores de «x» calculados.

Por lo que, el único punto de corte que se utilizará es P(4, ln 7).

Después, derivando la primera función:

\displaystyle y = \ln{(3x - \frac{x^2}{4} - 1)}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \ln{(3x - \frac{x^2}{4} - 1)} \right]

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{3 - \frac{1}{2} x}{3x - \frac{x^2}{4} - 1}

Y para la segunda función:

\displaystyle y = \ln{( \frac{x^3}{8} - 1)}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \ln{(\frac{x^3}{8} - 1)} \right]

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{3}{8} x^2}{\frac{x^3}{8} - 1}

Para el punto P(4, ln 7) las derivadas tendrán los siguientes valores:

Imagen13
Figura 2.2.2 Representación gráfica de los valores de las derivadas interpretadas como rectas tangentes para el punto P(4, ln 7).

Entonces, la primera dirección es:

\displaystyle {m}_{{tan}_{1}} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(4, \ln{7})} = \frac{1}{7}

\tan{{\alpha}_{1}} = {m}_{{tan}_{1}}

{\alpha}_{1} = \arctan{({m}_{{tan}_{1}})}

\tan{{\alpha}_{2}} = {m}_{{tan}_{2}}

{\alpha}_{2} = \arctan{({m}_{{tan}_{2}})}

Aplicando el primer método, se obtiene el ángulo de corte:

\displaystyle \theta = {\alpha}_{2} - {\alpha}_{1}

{\alpha}_{2} = \arctan{(\frac{6}{7})}

{\alpha}_{2} = 40.601°

Imagen14
Figura 2.2.3 Representación gráfica de las dirección de ambas pendientes y el ángulo de corte que forman las rectas tangentes.

 

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