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Cuando el móvil sigue una curva. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema 3. Un móvil sigue la curva

\displaystyle y=x - \frac{{x}^{2}}{100}

en que la distancia viene dada en metros. Encontrar:

a) El ángulo de salida.

b) El ángulo de impacto contra un muro vertical situado a 75 m de distancia.

c) El ángulo de caída sobre una azotea horizontal de 16 m de altura.

d) El ángulo de impacto sobre un plano inclinado a 45° hacia abajo, si el plano pasa por el centro de coordenadas.

Imagen9
Figura 1.3.1 Representación gráfica de la trayectoria del móvil.

Solución. A partir de la función dada:

\displaystyle y = x - \frac{{x}^{2}}{100}

Se obtiene su derivada con respecto a “x”:

\displaystyle y = x - \frac{{x}^{2}}{100}

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(x - \frac{{x}^{2}}{100} \right)

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} \left(\frac{{x}^{2}}{100} \right)

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{100} x

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{50} x

Del a), para obtener el ángulo de salida, se dice que “P (0,0)” ya que el punto de partida comienza por el origen:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{50}x

\displaystyle \frac{dy}{dx} {|}_{P(0,0)} = 1 - \frac{1}{50} (0) = 1

Luego:

\displaystyle {m}_{tan} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(0,0)} = 1

\tan{\alpha} = 1

\alpha = \arctan{1} = 45°

Por lo tanto, el ángulo de salida es de 45°.

Del b), para saber el ángulo que impacto el móvil contra la pared se dice que la distancia del origen hasta el muro es de 75 m (que representa la distancia del eje “x”).

Imagen10
Figura 1.3.2 Descripción gráfica referente al impacto que va el móvil y choca contra la pared.

Para su altura, se sustituye este valor con la función del problema:

\displaystyle y = x - \frac{1}{100} {x}^{2}

\displaystyle y = 75 - \frac{1}{100} {(75)}^{2} = 75 - 56.25

y = 18.75 (m)

Luego:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{50} x

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(75, 18.75)} = 1 - \frac{1}{50} (75) = 1 - 1.5 = - 0.5

\displaystyle {m}_{tan} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(75,18.75)} = -0.5

El ángulo es:

{m}_{tan} = - 0.5

\tan{\alpha} = -0.5

\alpha = \arctan{-0.5} = -26.57°

Este ángulo es negativo debido a que está en el segundo cuadrante de coordenadas:

Imagen11
Figura 1.3.3 Ángulos suplementarios.

Por lo que tomando el ángulo de “153.43”, esto va a representar el ángulo entre la trayectoria del móvil y la horizontal pero se requiere el ángulo entre la curva y el muro situado a 75 m, entonces:

Imagen12
Figura 1.3.4 Representación del ángulo entre la trayectoria del móvil y la azotea.

\beta = \alpha - 90°

\beta = 153.43 - 90

\beta = 63.43°

Por lo tanto, el ángulo es de 63.43°.

Del c), si el móvil cae sobre la azotea, dentro de la trayectoria parabólica, y = 16 m, entonces se hallará la distancia para esa altura requerida usando la función del problema:

\displaystyle y = x - \frac{1}{100} {x}^{2}

\displaystyle 16 = x - \frac{1}{100} {x}^{2}

\displaystyle 1600 = 100x - {x}^{2}

\displaystyle {x}^{2} - 100x + 1600 = 0

Imagen13
Figura 1.3.5 Descripción gráfica cuando el móvil cae sobre una azotea.

Y resolviendo la ecuación por fórmula general:

\displaystyle {x}_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-(-100) \pm \sqrt{{(-100)}^{2} - 4(1)(1600)}}{2(1)}

\displaystyle {x}_{1,2} = \frac{100 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{100 \pm 60}{2}

\displaystyle {x}_{1} = 80 (m) y {x}_{2}=20 (m)

De estas dos soluciones, 𝑥_2 no puede ser utilizado debido a que a los 20 m el móvil está elevación mientras que 80 m está decayendo y golpea en la azotea. Así que, se toma el valor de 𝑥_1=80 m.

Después, obteniendo la pendiente:

\displaystyle \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{50} x

\displaystyle \frac{dy}{dx}{|}_{P(80,16)} = 1 - \frac{1}{50} (80) = 1 - 1.6 = -0.6

\displaystyle {m}_{tan} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(80,16)} = -0.6

El ángulo es:

\displaystyle \tan{\alpha} = {m}_{tan}

\tan{\alpha} = -0.6

\alpha = \arctan{(-0.6)} = -30.96°

Una vez más, realizando el siguiente cambio:

\alpha = 180 - 30.96 = 149.04°

El ángulo que cae entre el móvil y la azotea es de 149.04°.

Para conocer el ángulo de impacto sobre el plano inclinado primero se debe tener la ecuación del plano inclinado. Por lo que se toman los puntos (0, 0) y (x, y) y el ángulo de “-45°”:

{m}_{tan} = \tan{\alpha}

{m}_{tan} = \tan{-45} = -1

Por la ecuación de punto y pendiente:

y - {y}_{0} = {m}_{tan} \left( x - {x}_{0} \right)

y-0 = (-1)(x-1)

y = -x

Imagen15
Figura 1.3.6 Representación gráfica del móvil cuando impacta sobre un plano inclinado de 45°.

Por el método de igualación se toma esta última ecuación y la ecuación del problema:

y = -x

\displaystyle x - \frac{{x}^{2}}{100} = -x

\displaystyle 2x - \frac{1}{100} {x}^{2} = 0

\displaystyle x(2 - \frac{1}{100} x) = 0

La primera solución, x = 0, no es valido, así que, se usará la segunda ecuación:

\displaystyle 2 - \frac{1}{100} x = 0

\displaystyle \frac{1}{100} x = 2

x = 200

En esa distancia, x = 200 m, su altura tendrá:

\displaystyle y = x - \frac{{x}^{2}}{100} = 200 - \frac{{200}^{2}}{100}

y = 200 - 400 = -200

El signo negativo indica que el valor de “y” no es altura sino profundidad. Finalmente, tomando (200, -200), el valor de la pendiente es:

\displaystyle {m}_{tan} = \frac{dy}{dx}{|}_{P(200,-200)}

\displaystyle = 1 - \frac{1}{50} (200) = 1 - 4 = -3

\tan{\alpha} = {m}_{tan}

\tan{\alpha} = -3

\alpha = \arctan{(-3)} = -71.57°

Imagen16
Figura 1.4.7 Representación de la trayectoria del móvil sobre el plano inclinado de 45°.

El ángulo está en el cuarto cuadrante, por lo que haciendo una diferencial de 180°:

{\alpha}_{1} = 180 - 71.57 = 108.43°

Pero este ángulo va desde la horizontal hasta el plano inclinado, para saber el ángulo desde el plano inclinado hasta la curva basta con hacer nuevamente una diferencia entre el ángulo de 45° junto con el ángulo recto (es decir, 90°) y el ángulo 𝛼_1:

\beta = 45 + 90 - 108.43

\therefore \beta = 26.57°

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