cálculo vectorial

Curvas planas y ecuaciones paramétricas. Cálculo vectorial.

Curva plana

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones x=f(t) y y=g(t) se les llama ecuaciones paramétricas y a “t” se le llama el parámetro. Al conjunto de puntos (x,y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama gráfica de las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, junta, es a lo que lo nombran como curva plana, que se denota por C.

Curva suave

Una curva C representa por x=f(t) y y=g(t) en un intervalo 𝐼 se dice que es suave si f´ y g´ son continuas en I y no simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.

Trazado de una curva

Como un ejemplo, se tiene que realizar el trazo para la siguiente curva

\displaystyle x = {t}^{2} - 4 \quad \text{y} \quad y = \frac{t}{2} \quad ; \quad -2 \le t \le 3

Haciendo la tabulación mediante las ecuaciones paramétricas que brinda el problema, se obtienen los resultados plasmados en una tabla:

tabla1
Tabla 1. Tabulación de las funciones dadas en el problema 1.
Diapositiva4
Figura 1. Representación gráfica del trazado de la curva.

Eliminación de un parámetro

Para eliminar un parámetro se tienen los siguientes pasos:

  1. Observar y analizar las ecuaciones paramétricas.
  2. Despejar “t” de una de las ecuaciones.
  3. Sustituir en la otra ecuación.
  4. El resultado final será una ecuación rectangular.

Problema resuelto: Eliminando un parámetro

Problema 1. Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro

\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{t+1}} \quad y \quad y = \frac{t}{t+1} \quad , \quad t > -1

Solución. De la ecuación x, se tiene que

\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{t+1}} = \sqrt{\frac{1}{t+1}}

Despejando t, resulta que

\displaystyle {x}^{2} = \frac{1}{t+1}

\displaystyle \frac{1}{{x}^{2}} = t + 1

\displaystyle \therefore t = \frac{1}{{x}^{2}} - 1

Ahora, de la ecuación y

\displaystyle y = \frac{t}{t + 1}

Se reemplaza \displaystyle t = \frac{1}{x^2} - 1 en esta ecuación.

\displaystyle y = \frac{t}{t + 1} = \frac{\frac{1}{{x}^{2}} - 1}{\frac{1}{x^2} - 1 + 1}

\displaystyle y = \frac{\frac{1 - x^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}

\displaystyle y = \frac{x^2 (1 - x^2)}{(1) x^2}

\displaystyle \therefore y = 1 - x^2

Con esta expresión final, se tiene la siguientes gráfica.

Diapositiva8
Figura 2. Representación gráfica del resultado final del problema 1.

Problema 2. Emplear trigonometría para eliminar el parámetro θ:

x = 3\cos{\theta} \quad y \quad y = 4\sin{\theta} \quad , \quad 0 \le \theta \le 2\pi

Solución. En la ecuación x se despeja \cos{\theta}.

x = 3 \cos{\theta}

\displaystyle \frac{x}{3} = \cos{\theta}

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{x}{3}

Y en la ecuación y se despeja \sin{\theta}.

y = 4 \sin{\theta}

\displaystyle \frac{y}{4} = \sin{\theta}

\displaystyle \sin{\theta} = \frac{y}{4}

Utilizando la identidad trigonométrica

{\sin}^{2}{\theta} + {\cos}^{2}{\theta} = 1

Se sustituye los despejes obtenidos anteriormente.

\displaystyle \left(\frac{y}{4} \right)^2 + \left(\frac{x}{3}\right)^2 = 1

\displaystyle \left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1

Entonces

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1

Al eliminar el parámetro (por medio de la sustitución) se obtuvo la ecuación de una elipse con centro en el origen (figura 3).

Diapositiva11
Figura 3. Representación gráfica del resultado final del problema 3.

Problema resuelto: ¿Como hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada?

Problema 3. Hallar las ecuaciones paramétricas para la ecuación y = 1 - x^2.

Solución. La pendiente \displaystyle m = \frac{dy}{dx} tiene un punto (x,y). Ahora, si t=x, la ecuación del problema toma una nueva expresión

y = 1 - x^2

y = 1 - t^2

Determinando su pendiente

\displaystyle m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} y

\displaystyle m = \frac{d}{dx}(1 - x^2)

m = -2x

Despejando x

\displaystyle x = - \frac{m}{2}

Reemplazándolo en la ecuación del problema

y = 1 - x^2

\displaystyle y = 1 - \left(-\frac{m}{2}\right)^2

\displaystyle y = 1 - \frac{m^2}{4}

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas son

\displaystyle \therefore x = -\frac{m}{2} \quad \text{y} \quad y = 1 - \frac{m^2}{4}

Diapositiva14
Figura 2.1.4 Representación gráfica del resultado del problema 4.

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