Curvas planas y ecuaciones paramétricas. Cálculo vectorial.

Curva plana

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones x=f(t) y y=g(t) se les llama ecuaciones paramétricas y a “t” se le llama el parámetro. Al conjunto de puntos (x,y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama gráfica de las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, junta, es a lo que lo nombran como curva plana, que se denota por C.

Curva suave

Una curva C representa por x=f(t) y y=g(t) en un intervalo 𝐼 se dice que es suave si f´ y g´ son continuas en I y no simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.

Trazado de una curva

Como un ejemplo, se tiene que realizar el trazo para la siguiente curva

$\displaystyle x = {t}^{2} - 4 \quad \text{y} \quad y = \frac{t}{2} \quad ; \quad -2 \le t \le 3$

Haciendo la tabulación mediante las ecuaciones paramétricas que brinda el problema, se obtienen los resultados plasmados en una tabla:

tabla1 — *Tabla 1. Tabulación de las funciones dadas en el problema 1.*

Diapositiva4 — *Figura 1. Representación gráfica del trazado de la curva.*

Eliminación de un parámetro

Para eliminar un parámetro se tienen los siguientes pasos:

Observar y analizar las ecuaciones paramétricas.
Despejar “t” de una de las ecuaciones.
Sustituir en la otra ecuación.
El resultado final será una ecuación rectangular.

Problema resuelto: Eliminando un parámetro

Problema 1. Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro

$\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{t+1}} \quad y \quad y = \frac{t}{t+1} \quad , \quad t > -1$

Solución. De la ecuación $x$ , se tiene que

$\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{t+1}} = \sqrt{\frac{1}{t+1}}$

Despejando $t$ , resulta que

$\displaystyle {x}^{2} = \frac{1}{t+1}$

$\displaystyle \frac{1}{{x}^{2}} = t + 1$

$\displaystyle \therefore t = \frac{1}{{x}^{2}} - 1$

Ahora, de la ecuación $y$

$\displaystyle y = \frac{t}{t + 1}$

Se reemplaza $\displaystyle t = \frac{1}{x^2} - 1$ en esta ecuación.

$\displaystyle y = \frac{t}{t + 1} = \frac{\frac{1}{{x}^{2}} - 1}{\frac{1}{x^2} - 1 + 1}$

$\displaystyle y = \frac{\frac{1 - x^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}$

$\displaystyle y = \frac{x^2 (1 - x^2)}{(1) x^2}$

$\displaystyle \therefore y = 1 - x^2$

Con esta expresión final, se tiene la siguientes gráfica.

Diapositiva8 — *Figura 2. Representación gráfica del resultado final del problema 1.*

Problema 2. Emplear trigonometría para eliminar el parámetro θ:

$x = 3\cos{\theta} \quad y \quad y = 4\sin{\theta} \quad , \quad 0 \le \theta \le 2\pi$

Solución. En la ecuación $x$ se despeja $\cos{\theta}$ .

$x = 3 \cos{\theta}$

$\displaystyle \frac{x}{3} = \cos{\theta}$

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{x}{3}$

Y en la ecuación $y$ se despeja $\sin{\theta}$ .

$y = 4 \sin{\theta}$

$\displaystyle \frac{y}{4} = \sin{\theta}$

$\displaystyle \sin{\theta} = \frac{y}{4}$

Utilizando la identidad trigonométrica

${\sin}^{2}{\theta} + {\cos}^{2}{\theta} = 1$

Se sustituye los despejes obtenidos anteriormente.

$\displaystyle \left(\frac{y}{4} \right)^2 + \left(\frac{x}{3}\right)^2 = 1$

$\displaystyle \left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1$

Entonces

$\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

Al eliminar el parámetro (por medio de la sustitución) se obtuvo la ecuación de una elipse con centro en el origen (figura 3).

Diapositiva11 — *Figura 3. Representación gráfica del resultado final del problema 3.*

Problema resuelto: ¿Como hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada?

Problema 3. Hallar las ecuaciones paramétricas para la ecuación $y = 1 - x^2$ .

Solución. La pendiente $\displaystyle m = \frac{dy}{dx}$ tiene un punto $(x,y)$ . Ahora, si $t=x$ , la ecuación del problema toma una nueva expresión