cálculo vectorial

Distancia entre planos paralelos. Cálculo vectorial.

Introducción

Otra manera de determinar la distancia es tomando en cuenta el punto Q({x}_{0}, {y}_{0}, {z}_{0}) y un plano dado por ax + by + cz + d = 0.

\displaystyle D = \frac{|a({x}_{0} - {x}_{1}) + b({y}_{0} - {y}_{1}) + c({z}_{0} - {z}_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2 }}

O recordando la distancia de un punto a un plano

\displaystyle D = \frac{|a{x}_{0} + b{y}_{0} + c{z}_{0} + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Donde P({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1}) es un punto en el plano y d = -(a{x}_{1} + b{y}_{1} + c{z}_{1})

Problema resuelto

Problema. Encontrar la distancia entre los dos planos por 3x - y + 2z - 6 = 0 y 6x -2y + 4z + 4 = 0.

Solución. Tomando la primera ecuación para obtener P recordando que z=0 y y=0

3x - y + 2z - 6 = 0

3x - 0 + 2(0) - 6 = 0

3x - 6 = 0

3x = 6

x = 2

El punto es P(2,0,0). Y también se toma la segunda ecuación para obtener valores de a, b, c y d

6x - 2y + 4z + 4 = 0

De esta ecuación, los coeficientes son a = 1, b = -2, c = 4, d = 4. Sustituyendo todos estos valores que se obtuvieron de las ecuaciones a la fórmula, se da el resultado

\displaystyle D = \frac{|a{x}_{0} + b{y}_{0} + c{z}_{0} + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

\displaystyle D = \frac{|(6)(2) + (-2)(0) + (4)(0) + 4|}{\sqrt{(6)^2 + (-2)^2 + (4)^2}}

\displaystyle D = \frac{|16|}{\sqrt{56}} = \frac{16}{\sqrt{56}}

\displaystyle \therefore D = \frac{16}{\sqrt{56}} \approx 2.1381 unidades


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