Distancia entre planos paralelos. Cálculo vectorial.

Introducción

Otra manera de determinar la distancia es tomando en cuenta el punto $Q({x}_{0}, {y}_{0}, {z}_{0})$ y un plano dado por $ax + by + cz + d = 0$ .

$\displaystyle D = \frac{|a({x}_{0} - {x}_{1}) + b({y}_{0} - {y}_{1}) + c({z}_{0} - {z}_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2 }}$

O recordando la distancia de un punto a un plano

$\displaystyle D = \frac{|a{x}_{0} + b{y}_{0} + c{z}_{0} + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Donde $P({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1})$ es un punto en el plano y $d = -(a{x}_{1} + b{y}_{1} + c{z}_{1})$

Problema resuelto

Problema. Encontrar la distancia entre los dos planos por $3x - y + 2z - 6 = 0$ y $6x -2y + 4z + 4 = 0$ .

Solución. Tomando la primera ecuación para obtener $P$ recordando que $z=0$ y $y=0$

$3x - y + 2z - 6 = 0$

$3x - 0 + 2(0) - 6 = 0$

$3x - 6 = 0$

$3x = 6$

$x = 2$

El punto es $P(2,0,0)$ . Y también se toma la segunda ecuación para obtener valores de $a$ , $b$ , $c$ y $d$

$6x - 2y + 4z + 4 = 0$

De esta ecuación, los coeficientes son $a = 1$ , $b = -2$ , $c = 4$ , $d = 4$ . Sustituyendo todos estos valores que se obtuvieron de las ecuaciones a la fórmula, se da el resultado

$\displaystyle D = \frac{|a{x}_{0} + b{y}_{0} + c{z}_{0} + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$\displaystyle D = \frac{|(6)(2) + (-2)(0) + (4)(0) + 4|}{\sqrt{(6)^2 + (-2)^2 + (4)^2}}$

$\displaystyle D = \frac{|16|}{\sqrt{56}} = \frac{16}{\sqrt{56}}$

$\displaystyle \therefore D = \frac{16}{\sqrt{56}} \approx 2.1381$ unidades

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Publicado por Cesar Reyes

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