cálculo vectorial

Triple producto escalar. Cálculo vectorial.

Introducción

Dados los vectores u, v y w en el espacio, al producto escalar de u y \bold{v} \times \bold{w}, es decir, \bold{u} \cdot (\bold{v} \times \bold{w}) se le llama triple producto escalar o producto mixto.

Para \bold{u} = {u}_{1}\bold{i} + {u}_{2}\bold{j} + {u}_{3}\bold{k}, \bold{v} = {v}_{1}\bold{i} + {v}_{2}\bold{j} + {v}_{3}\bold{k} y \bold{w} = {w}_{1}\bold{i} + {w}_{2}\bold{j} + {w}_{3}\bold{k}, el triple producto escalar está dado por

\bold{u} \cdot (\bold{v} \times \bold{w}) = \left[ \begin{matrix} {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \\ {v}_{1} & {v}_{2} & {v}_{3} \\ {w}_{1} & {w}_{2} & {w}_{3} \end{matrix} \right]

Si los vectores u, v y w no están en el mismo plano, el triple producto escalar \bold{u} \cdot (\bold{v} \times \bold{w}) puede usarse para determinar el volumen del paralelepípedo con u, v y w como aristas adyacentes.

El volumen V de un paralelepípedo con vectores u, v y w como aristas adyacentes está brindado por la siguiente ecuación

V = (Altura) (Area de la base)

V = \bold{u} \cdot (\bold{v} \times \bold{w}) = \left[ \begin{matrix} {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \\ {v}_{1} & {v}_{2} & {v}_{3} \\ {w}_{1} & {w}_{2} & {w}_{3} \end{matrix} \right]

Donde las unidades del volumen están dadas en {u}^{3}

Problema resuelto

Problema. Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene u = 3i – 5j + k, v = 2j – 2k y w = 3i + j + k como aristas adyacentes.

Solución. Del vector v también se puede expresar de la siguiente manera

\bold{v} = 2\bold{j} - 2\bold{k} = 0\bold{i} + 2\bold{j} - 2\bold{k}

Utilizando la fórmula del volumen

V = \bold{u} \cdot (\bold{v} \times \bold{w}) = \left[ \begin{matrix} {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \\ {v}_{1} & {v}_{2} & {v}_{3} \\ {w}_{1} & {w}_{2} & {w}_{3} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} \right]

V = (6 + 30 + 0) - (6 - 6) = 36 - 0 = 36

\therefore V = 36 {u}^{3}


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