cálculo vectorial

Producto vectorial o producto cruz de dos vectores. Cálculo vectorial.

Introducción

Sean \bold{u} = {u}_{1} \bold{i} + {u}_{2} \bold{j} + {u}_{3} \bold{k} y \bold{v} = {v}_{1} \bold{i} + {v}_{2} \bold{j} + {v}_{3} \bold{k} vectores en el espacio. El producto vectorial de u y v es el vector:

\bold{u} \times \bold{v} = ({u}_{2} {v}_{3} - {u}_{3} {v}_{2}) \bold{i} - ({u}_{1} {v}_{3} - {u}_{3} {v}_{1}) \bold{j} + ({u}_{1} {v}_{2} - {u}_{2} {v}_{1}) \bold{k}

La demostración a esta fórmula se debe al siguiente caso

\displaystyle \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \\ {v}_{1} & {v}_{2} & {v}_{3} \end{matrix} \right] = ({u}_{2} {v}_{3} - {u}_{3} {v}_{2}) \bold{i} - ({u}_{1} {v}_{3} - {u}_{3} {v}_{1}) \bold{j} + ({u}_{1} {v}_{2} - {u}_{2} {v}_{1}) \bold{k}

Propiedades algebraicas del producto vectorial

Sean u, v y w vectores en el espacio, y sea c un escalar.

  1. \bold{u} \times \bold{v} = - (\bold{v} \times \bold{u})
  2. \bold{u} \times (\bold{v} + \bold{w}) = (\bold{u} \times \bold{v}) + (\bold{u} \times \bold{w})
  3. c(\bold{u} \times \bold{v}) = (c\bold{u}) \times \bold{v} = \bold{u} \times (c\bold{v})
  4. \bold{u} \times \bold{0} = \bold{0} \times \bold{u} = \bold{0}
  5. \bold{u} \times \bold{u} = \bold{0}
  6. \bold{u} \cdot (\bold{v} \times \bold{w}) =(\bold{u} \times \bold{v}) \cdot \bold{w}

Problemas resueltos

Problema 1. Dados u = i – 2j + k y v = 3i + j – 2k, hallar cada uno de los siguientes productos vectoriales

  • a) \bold{u} \times \bold{v}
  • b) \bold{v} \times \bold{u}
  • c) \bold{v} \times \bold{v}

Solución a). Usando la fórmula del producto cruz de dos vectores

\displaystyle \bold{u} \times \bold{v} = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \\ {v}_{1} & {v}_{2} & {v}_{3} \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{matrix} \right]

\displaystyle \bold{u} \times \bold{v}= (4\bold{i} + 3\bold{j} + 1\bold{k}) - (-6\bold{k} - 2\bold{j} + \bold{i}) = 4\bold{i} + 3\bold{j} + 1\bold{j} + 6\bold{k} + 2\bold{j} - \bold{i}

\therefore \bold{u} \times \bold{v} = 3\bold{i} + 5\bold{j} + 7\bold{k}

Solución b). Usando la propiedad #2

\bold{u} \times \bold{v} = - (\bold{v} \times \bold{u}) = - (3\bold{i} + 5\bold{j} + 7\bold{k}) = -3\bold{i} - 5\bold{j} - 7\bold{k}

\therefore \bold{u} \times \bold{v} = -3\bold{i} - 5\bold{j} - 7\bold{k}

Solución c). Por la propiedad #5

\bold{v} \times \bold{v} = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \\ {u}_{1} & {u}_{2} & {u}_{3} \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{matrix} \right] = \bold{0}

\therefore \bold{v} \times \bold{v} = \bold{0}


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