blog, cálculo vectorial

(1.4) Aplicaciones del producto escalar. Cálculo vectorial.

Ángulo entre dos vectores.

Si 𝜃 es el ángulo entre dos vectores distintos de cero u y v, entonces:

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}||}

Donde
𝒖: es el vector u
𝒗: es el vector v

Diapositiva4
Figura 1.4.1 Imagen ilustrativa referente al tema 1.4.

Problemas resueltos.

Problema 1. Si u = (3,-1,2), v = (-4,0,2), w = (1,-1,-2) y z = (2,0,-1), hallar el ángulo entre cada uno de los siguientes pares de vectores:

  • a) \overrightarrow{u} y \overrightarrow{v}
  • b) \overrightarrow{u} y \overrightarrow{w}
  • c) \overrightarrow{v} y \overrightarrow{z}

Solución a).

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}||}

\displaystyle = \frac{(3, -1, 2) \cdot (-4, 0, 2)}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{20}} = \frac{-12+0+4}{\sqrt280} = \frac{-8}{\sqrt{280}} = \frac{-4}{\sqrt{70}}

\theta = 118.5608 °

Solución b)

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w})}{||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{w}||} = \frac{(3, -1, 2) \cdot (1, -1, -2)}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}

\displaystyle = \frac{(3 + 1 - 4)}{\sqrt{84}} = \frac{0}{\sqrt{84}} = 0

\theta = \arccos{0}

\therefore \theta = 90°

Se dice que los vectores u y w son paralelos.

Solución c)

\displaystyle \cos{\theta} = \frac{(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{z})}{||\overrightarrow{v}|| \cdot ||\overrightarrow{z}||} = \frac{(-4, 0, 2) \cdot (2, 0, -1)}{\sqrt{20} \sqrt{5}}

\displaystyle = \frac{-8+0-2}{\sqrt{100}} = - \frac{10}{10} = -1

\theta = \arccos{(-1)}

\theta = 180°

Se dicen que los vectores son paralelos, es decir, 𝑣 = −2𝑧.

Proyección utilizando el producto escalar.

Si u y v son vectores distintos de cero, entonces la proyección de u en v está dada por:

\displaystyle {proy}_{\overrightarrow{v}} \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{{||\overrightarrow{v}||}^{2}}\overrightarrow{v}

Problema 2. Hallar la proyección de u en v y la componente vectorial de u ortogonal a v de los vectores u = 3i – 5j + 2k y v = 7i + j – 2k.

Solución. Para la proyección de u en v es:

\displaystyle \overrightarrow{{w}_{1}} = {proy}_{\overrightarrow{v}} \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||^2} \overrightarrow{v}

\displaystyle = \frac{(3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}) \cdot (7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})}{{(\sqrt{54})}^{2}} (7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})

\displaystyle = \frac{(3,-5,2) \cdot (7,1,-2)}{54} (7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}) = \frac{21-5-4}{54}(7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k})

\displaystyle = \left( frac{12}{54} \right) \left(7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}\right)=\left(\frac{2}{9}\right)(7\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}) = \frac{14}{9} \overrightarrow{i}+\frac{2}{9} \overrightarrow{j} - \frac{4}{9}\overrightarrow{k}

Para la componente vectorial de u ortogonal a v es el vector.

\overrightarrow{{w}_{2}} = \overrightarrow{u} - {\overrightarrow{w}_{1}}

\displaystyle \overrightarrow{{w}_{2}} = \left( 3 \overrightarrow{i} - 5 \overrightarrow{j} + 2 \overrightarrow{k} \right) - \left( \frac{14}{9} \overrightarrow{i} + \frac{2}{9} \overrightarrow{j} - \frac{4}{9} \overrightarrow{k} \right)

\displaystyle \therefore \overrightarrow{{w}_{2}} = \frac{13}{9} \overrightarrow{i} - \frac{47}{9} \overrightarrow{j} + \frac{22}{9} \overrightarrow{k}

Referencias bibliográficas.

  • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
  • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
  • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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