cálculo vectorial

Producto escalar. Cálculo vectorial.

Introducción

El producto escalar de \bold{u} = ({u}_{1},{u}_{2}) y \bold{v} = ({v}_{1}, {v}_{2}) es:

\bold{u} \cdot \bold{v} = {v}_{1} \cdot {u}_{1} + {v}_{2} \cdot {u}_{2}

El producto escalar de \bold{u} = ({u}_{1},{u}_{2},{u}_{3}), \bold{v} = ({v}_{1}, {v}_{2}, {v}_{3}) es:

\bold{u} \cdot \bold{v}={v}_{1} \cdot {u}_{1} + {v}_{2} \cdot {u}_{2} + {v}_{3} \cdot {u}_{3}

Propiedades del producto escalar

Sean \bold{u}, \bold{v} y \bold{w} vectores en el plano o en el espacio y sea c un escalar.

  1. \bold{u} \cdot \bold{v} = \bold{v} \cdot \bold{u} (propiedad conmutativa)
  2. \bold{u} \cdot (\bold{v} + \bold{w}) = \bold{u} \cdot \bold{v} + \bold{u} \cdot \bold{w} (propiedad distributiva)
  3. c(\bold{u} \cdot \bold{v}) = c\bold{u} \cdot \bold{v} = \bold{u} \cdot c\bold{v}
  4. \bold{0} \cdot \bold{v} = \bold{0}
  5. \bold{v} \cdot \bold{v} =||\bold{v}||^2

Problema resuelto

Problema. Dados los vectores u=(2,-2), v=(5,8) y w=(-4,3), encontrar:

  • a) \bold{u} \cdot \bold{v}
  • b) (\bold{u} \cdot \bold{v}) \bold{w}
  • c) \bold{u} \cdot (2\bold{v})
  • d) ||\bold{w}||^2

Solución a). Realizando la operación del producto punto

\bold{u} \cdot \bold{v} = (2,-2) \cdot (5,8) = (2)(5) + (-2)(8)

\bold{u} \cdot \bold{v} = 10 - 16 = -6

\therefore \bold{u} \cdot \bold{v} = -6

Solución b). Realizando la operación del producto punto:

(\bold{u} \cdot \bold{v}) \bold{w} = (-6)(-4, 3)

\therefore (\bold{u} \cdot \bold{v}) \bold{w} = (24, -18)

Solución c). Realizando la operación del producto punto:

\bold{u} \cdot (2 \bold{v}) = 2 (\bold{u} \cdot \bold{v})= 2 [(2, -2) \cdot (5, 8)]

\bold{u} \cdot (2 \bold{v}) = 2 (10 - 16) = 2(-6) = -12

\therefore \bold{u} \cdot (2 \bold{v}) = -12

Solución d). Realizando la operación del producto punto

{||\bold{w}||}^{2} = \bold{w} \cdot \bold{w} = (-4, 3) \cdot (-4, 3)

{||\bold{w}||}^{2} = (-4)(-4) + (3)(3) = 16 + 9 = 25

\therefore ||\bold{w}||^2 = 25

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