Componentes de un vector. Cálculo vectorial.

Introducción

Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un sólo número real en unidades de medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama escalar.

Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real. Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido. El segmento real dirigido tiene un punto inicial y un punto final y su longitud ( o magnitud) se denota por un par de líneas verticales en cada lado. Segmentos de recta dirigido que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que tienen la misma longitud y dirección son equivalente a un segmento de recta dirigido dado es un vector en el plano y puede ser denotado como $\bold{v} = \overrightarrow{PQ}$ . En diversos libros, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas, en negrita, como u, v o w. Cuando se escriben a mano se suelen denotar por medio de letras con una flecha sobre ellas, como $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ o $\overrightarrow{w}$ .

Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de muchos segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma dirección y todos de las misma longitud.

Definición de vector

Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es $(v_1,v_2)$ , entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera:

$\bold{v} = ({v}_{1},{v}_{2})$

Figura 1. Representación gráfica del vector en el plano

Las coordenadas $v_1$ y $v_2$ son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces, v es el vector cero (o vector nulo) y se denota por:

$\bold{0} = (0,0)$

Magnitud de un vector

Si $P(p_1, p_2)$ y $Q(q_1, q_2)$ son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por $\overrightarrow{PQ}$ , dado mediante sus componentes, es