cálculo vectorial

Componentes de un vector. Cálculo vectorial.

Introducción

Muchas cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiempo, se pueden caracterizar por medio de un sólo número real en unidades de medición apropiadas. Estas cantidades se llaman escalares, y al número real se le llama escalar.

Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y dirección y no pueden caracterizarse completamente por medio de un solo número real. Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta dirigido. El segmento real dirigido tiene un punto inicial y un punto final y su longitud ( o magnitud) se denota por un par de líneas verticales en cada lado. Segmentos de recta dirigido que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que tienen la misma longitud y dirección son equivalente a un segmento de recta dirigido dado es un vector en el plano y puede ser denotado como \bold{v} = \overrightarrow{PQ}. En diversos libros, los vectores se denotan normalmente con letras minúsculas, en negrita, como u, v o w. Cuando se escriben a mano se suelen denotar por medio de letras con una flecha sobre ellas, como \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} o \overrightarrow{w}.

Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de muchos segmentos de recta dirigidos diferentes, todos apuntando en la misma dirección y todos de las misma longitud.

Definición de vector

Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es (v_1,v_2), entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera:

\bold{v} = ({v}_{1},{v}_{2})

Figura 1. Representación gráfica del vector en el plano

Las coordenadas v_1 y v_2 son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto final están en el origen, entonces, v es el vector cero (o vector nulo) y se denota por:

\bold{0} = (0,0)

Magnitud de un vector

Si P(p_1, p_2) y Q(q_1, q_2) son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por \overrightarrow{PQ}, dado mediante sus componentes, es

({v}_{1},{v}_{2}) = ({q}_{1} - {p}_{1},{q}_{2} - {p}_{2})

La magnitud (o longitud) de v es

||\bold{v}|| = \sqrt{{({q}_{1}-{p}_{1})}^{2} + {({q}_{2} - {p}_{2})}^{2}}

||\bold{v}|| = \sqrt{{({v}{1})}^{2} + {({v}{2})}^{2}}

Figura 2. Representación gráfica de la magnitud de un vector.

Si en ocasiones el resultado de ||v|| es igual a 1, es un vector unitario o si el resultado de ||v|| es igual a 0, se dice que es un vector cero.

Problema resuelto

Problema. Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3,-7) y el punto final (-2,5).

Solución. Para obtener el vector, se realiza lo siguiente:

\bold{v} = ({v}_{1},{v}_{2})

Tomando los puntos (3,-7) y (-2,5):

{v}_{1} = {q}_{1} - {p}_{1} = (-2) - (-3) = -5

y

{v}_{2} = {q}_{2} - {p}_{2} =(5) - (-7) = 12

Entonces

\bold{v} = (-5,12)

Por lo tanto, su magnitud es

||\bold{v}|| = \sqrt{{{v}_{1}}^{2} + {{v}_{2}}^{2}}

||\bold{v}|| = \sqrt{{(-5)}^{2} + {(12)}^{2}} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13

\therefore ||\bold{v}|| = 13


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