Regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función. Cálculo diferencial.

La primera derivada.

De una función:

$y = f(x)$

Se puede obtener la primera derivada usando la siguiente fórmula:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} ={f}^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x + h) - f(x)}{h}}$

Diapositiva5 — *Figura 4.1.1 Imagen destacada referente a este tema.*

Regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función.

Paso 1. Agregar el incremento tanto a “x” y a “y” en una suma.

$y = f(x)$

$y + \Delta y = f(x + \Delta x)$

Paso 2. Despejar «Δy» y transformar «y» a «f(x)»; en ocasiones hay que realizar su reducción.

$y + \Delta y = f(x + \Delta x)$

$\Delta y = f(x + \Delta x) - y$

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$

Paso 3. Sustituir los valores dados en la fórmula de la derivada y dividir el resultado de «Δy» entre «Δx».

$\displaystyle frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Paso 4. Evaluar el límite de esta división con respecto a «Δx» cuando tiende a cero.

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = {f}^{'}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}}$

Problemas resueltos.

Problema 1. Sea $f(x) = 3{x}^{2} - 5x + 4$ . Encontrar f ‘(x).

Solución. Utilizando la regla de los cuatro pasos.

$y = f(x)$

$y = 3{x}^{2} - 5x + 4$

Del primer paso:

$y + \Delta y = f(x + \Delta x)$

$= 3{(x + \Delta x)}^{2} - 5(x + \Delta x) + 4$

$= 3 \left[{x}^{2} + 2x \Delta x + {(\Delta x)}^{2} \right] - 5(x + \Delta x) + 4$

$= 3{x}^{2} + 6x \Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5x - 5\Delta x + 4$

Del segundo paso, se despeja «Δy»:

$y + \Delta y = 3{x}^{2} + 6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5x - 5\Delta x + 4$

$\Delta y = 3{x}^{2} + 6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5x - 5\Delta x + 4 - y$

Recordando que «y = f(x)»:

$\Delta y = 3{x}^{2} + 6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5x - 5\Delta x + 4 - f(x)$

$\Delta y = 3{x}^{2} + 6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5x - 5\Delta x + 4 - (3{x}^{2} - 5x + 4)$

Aplicando reducción de términos semejantes:

$\Delta y = 3{x}^{2} + 6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5x - 5\Delta x + 4 - 3{x}^{2} + 5x - 4$

$\Delta y = 6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5\Delta x$

Del tercer paso, se divide «Δy» entre «Δx»:

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5\Delta x}{\Delta x}$

Del cuarto paso, se evalúa el límite:

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{6x\Delta x + 3{(\Delta x)}^{2} - 5\Delta x}{\Delta x}}$

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{6x + 3\Delta x - 5}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 6x + 3(0) - 5$

$\displaystyle \therefore \frac{dy}{dx} = 6x - 5$

Problema 2. Dada la función $f(x) = \sqrt{3x} + 7$ . Encontrar f ‘(x).

Solución. Se utilizará la regla de los cuatro pasos para obtener f’(x).

Del primer paso:

$y + \Delta y = f(x + \Delta x)$

$y + \Delta y = \sqrt{3(x + \Delta x)} + 7$

Del segundo paso, se despeja :

$y + \Delta y = \sqrt{3(x + \Delta x)} + 7$

$\Delta y = \sqrt{3(x + \Delta x)} + 7 - y$

Recordando que «y = f(x)»:

$\Delta y = \sqrt{3(x + \Delta x)} + 7 - f(x) = \sqrt{3(x + \Delta x)} + 7 - (\sqrt{3x}+7)$

$\Delta y = \sqrt{3(x + \Delta x)} + 7 - \sqrt{3x} - 7$

$\Delta y = \sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x}$

Del tercer paso, se divide el incremento de “y” entre el incremento de “x”:

$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x}}{\Delta x}$

Del cuarto paso, se evalúa el límite:

$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim_{\Delta \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x}}{\Delta x}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x}}{\Delta x}}$

Antes de continuar, se observa que el límite de esta función, al evaluarlo, se obtiene una indeterminación, así que, por la expresión algebraica que se muestra, se utilizará el método de racionalización:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x}}{\Delta x}}$

$\displaystyle = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\left[\frac{\sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x}}{\Delta x} \right] \left[ \frac{\sqrt{3(x + \Delta x)} + \sqrt{3x}}{\sqrt{3(x + \Delta x)} + \sqrt{3x}} \right]}$

$\displaystyle = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{3(x + \Delta x) - 3x}{(\Delta x)(\sqrt{3(x + \Delta x)} + \sqrt{3x})}} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{3\Delta x}{\Delta x(\sqrt{3(x + \Delta x)} + \sqrt{3x}}}$

Regresando:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{3\Delta x}{\Delta x(\sqrt{3(x + \Delta x)} + \sqrt{3x}}}$

$\displaystyle = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{3}{\sqrt{3(x + \Delta x)} + \sqrt{3x}}}$

$\displaystyle= \frac{3}{\sqrt{3(x + 0)} + \sqrt{3x}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3x} + \sqrt{3x}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3x}}$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x}}$

Referencias bibliográficas.

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Gil Sevilla, J. L., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial para cursos enfoque por competencias. México: Pearson Educación.
Mitacc, M., & Toro Mota, L. (2009). Tópicos de cálculo. Volumen 1. Perú: Thales S. R. L.
Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica. México: Panamericana.
Thomas, J. G. (2006). Cálculo. Una variable. México: Pearson Educación.
Zill, D. G. (1999). Cálculo con geometría analítica. México.
Zill, D. G., & Wright, W. S. (2010). Matemáticas 1. Cálculo diferencial. México: Mc Graw Hill Interamericana.