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Operaciones con funciones. Cálculo diferencial.

Introducción.

Este tema brinda ejercicios resueltos de los diferentes tipos de operaciones de funciones. Existen cinco operaciones de funciones elementales en el cálculo diferencial como son la suma, la resta, la multiplicación, la división y la función compuesta.

TIPO DE OPERACIÓN EXPRESIÓN ALGEBRAICA
SUMA

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

RESTA

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO

(f*g)(x) = f(x) * g(x)

DIVISIÓN O COCIENTE

\displaystyle (\frac{f}{g}) (x) = \frac{f(x)}{g(x)}

FUNCIÓN COMPUESTA

(f \circ g)(x)=f(g(x))

Diapositiva2
Figura 2.3.1 Imagen ilustrativa referente al tema 2.3.

Suma de funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Problemas resueltos.

Problema 1. Obtener la suma de las siguientes funciones f(x)=2x+1 y g(x)=x^2.

Solución.

(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (2x+1) + {x}^{2} = {x}^{2} + 2x + 1

\therefore (f + g)(x) = {x}^{2} + 2x + 1

Problema 2. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x = 3”.

Solución.

(f + g)(x) = {x}^{2} + 2x + 1

(f + g)(3) = {3}^{2} + 2(3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

\therefore (f + g)(3) = 16

Resta de funciones: (f – g)(x) = f(x) – g(x) .

Problemas resueltos.

Problema 3. Obtener la suma de las siguientes dos funciones: f(x) = 2x + 1 y g(x) = {x}^{2}

Solución.

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = (2x + 1) - {x}^{2} = -{x}^{2} + 2x + 1

\therefore (f -g)(x) = -{x}^{2} + 2x + 1

Problema 4. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x = 3”.

Solución.

(f - g)(x) = -{x}^{2} + 2x + 1

(f - g)(3) = -{3}^{2} + 2(3) + 1 = -9 + 6 + 1 = -2

\therefore (f - g)(3) = -2

Multiplicación o producto de funciones: (f ∗ g)(x) = f(x) ∗ g(x).

Problemas resueltos.

Problema 5. Obtener la suma de las siguientes dos funciones: f(x) = 2x + 1 y g(x) = {x}^{2}

Solución.

(f*g)(x) = f(x) * g(x) = (2x+1)*({x}^{2}) = 2{x}^{3} + {x}^{2}

\therefore (f * g)(x) = 2{x}^{3} + {x}^{2}

Problema 6. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

Solución.

(f * g)(x) = 2{x}^{3} + {x}^{2}

(f *g)(3) = 2{3}^{3} + {3}^{2} = 2(27) + 9 = 63

\therefore (f * g)(3) = 63

División o cociente de funciones: (f/g)(x) = f(x) / g(x).

Problemas resueltos.

Problema 7. Obtener la suma de las siguientes dos funciones: f(x) = 2x+1 y g(x) = {x}^{2}

Solución.

\displaystyle (\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x+1}{{x}^{2}} = \frac{2x}{{x}^{2}} + \frac{1}{{x}^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}

\displaystyle \therefore (\frac{f}{g})(x) = \frac{2}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}

Problema 8. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

Solución.

\displaystyle(\frac{f}{g})(x) = \frac{2}{x} + \frac{1}{{x}^{2}}

\displaystyle (\frac{f}{g})(3) = \frac{2}{3} + \frac{1}{{3}^{2}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}

\displaystyle \therefore (\frac{f}{g})(x) = \frac{7}{9}

Función compuesta: (f ° g)(x) = f( g(x)).

Problemas resueltos.

Problema 9. Obtener la suma de las siguientes dos funciones:

f(x) = 2x+1 \quad \quad y \quad \quad g(x) = {x}^{2}

Solución.

(f \circ g)(x) = [(2x+1) \circ ({x}^{2})] = 2({x}^{2})+1=2{x}^{2} + 1

\therefore (f \circ g)(x) = 2{x}^{2} + 1

Problema 10. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

Solución.

(f \circ g)(x) = 2{x}^{2} + 1

(f \circ g)(3) = 2({3})^{2} + 1 = 2(9) + 1 = 18 + 1 = 19

\therefore (f \circ g)(3) = 19

Función compuesta: (g ° f)(x) = g( f(x)).

Problemas resueltos.

Problema 11. Obtener la suma de las siguientes dos funciones:

f(x) = {x}^{2} \quad \quad y \quad \quad g(x) = 2x+1

Solución.

(g \circ f)(x) = [({x}^{2}) \circ (2x+1)] = {(2x+1)}^{2} ={(2x+1)}^{2}

(g \circ f)(x) = {(2x+1)}^{2}

Problema 12. Del resultado anterior, evaluar el resultado si “x=3”.

Solución.

(g \circ f)(x) = {(2x+1)}^{2}

(g \circ f)(3) = {[2(3)+1]}^2 = {(6+1)}^{2} = {7}^{2} = 49

(g \circ f)(3) = 49

Referencias bibliográficas.

  1. Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes Figueroa, R. (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.
  2. Gil Sevilla, J. L., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial para cursos enfoque por competencias. México: Pearson Educación.
  3. Mitacc, M., & Toro Mota, L. (2009). Tópicos de cálculo. Volumen 1. Perú: Thales S. R. L.
  4. Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica. México: Panamericana.
  5. Thomas, J. G. (2006). Cálculo. Una variable. México: Pearson Educación.
  6. Zill, D. G. (1999). Cálculo con geometría analítica. México.
  7. Zill, D. G., & Wright, W. S. (2010). Matemáticas 1. Cálculo diferencial. México: Mc Graw Hill Interamericana.

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