Problemas resueltos de funciones. Cálculo diferencial.

Introducción.

En este tema muestra como obtener el rango y el dominio de una función dada.

Problemas resueltos.

Problema 1. Dado $f(x)={x}^{2}-3x+19$ , hallar «f(1)» y «f(12)».

Solución. De la función

$f(x)=x^2 - 3x +19$

sustituyendo cuando «x = 1»

$f(x) = {x}^{2} - 3x + 19$

$f(1) = {1}^{2} - 3(1) + 19 = 1 - 3 + 19$

$\therefore f(1)=17$

Y cuando «x = 12»:

$f(x)={x}^{2} - 3x + 19$

$f(12) = {12}^{2} - 3(12) + 19 = 144 - 36 + 19$

$\therefore f(12) = 127$

Problema 2. Encontrar el dominio y rango de la función $f(x) = 3{x}^{2}-7$

Solución. Se realiza una tabulación en donde el dominio es “x” y el condominio o recorrido es

Valores de “x” positivos

x	y
0	-7
+1	-4
+2	5
+3	20
+4	41

Valores de “x” negativos

x	y
0	-7
-1	-4
-2	5
-3	20
-4	41

Diapositiva3 — *Figura 2.2.1. Representando los resultados obtenidos de la tabulación de la función brindada por el problema 1.*

Por lo que el conjunto para el dominio es: $\left\{x|x = R \right\}$

Y el intervalo para el rango es: $(-\infty, \infty)$

Problema 3. Encontrar el dominio y rango de la siguiente función:

$\displaystyle f(x) = \frac{{x}^{2} - 1}{7x}$

Solución. Se realiza una tabulación en donde el dominio es “x” y el condominio o recorrido es:

Valores de “x” positivos

x	y = f(x)
0	Indefinido
1	0
2	$\displaystyle \frac{3}{14}$

Valores de “x” negativos

x	y = f(x)
0	Indefinido
-1	0
-2	$\displaystyle - \frac{3}{14}$

Diapositiva6 — *Figura 2.2.2. Representando los resultado obtenidos de la tabulación de la función brindada por el problema 2.*

Por lo que el conjunto para el dominio es: $\left\{x|x \ne 0 \right\}$

Y el intervalo para el rango es: $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$

En este ultimo ejemplo, para saber como realizarlo, se hace el siguiente procedimiento:

$\displaystyle f(x)=\frac{{x}^{2} - 1}{7x}$

De esta función se toma la parte del denominador y lo igualamos a cero, luego se despeja la variable “x”:

$7x = 0$

$x=0$

Como observa se obtuvo un valor, por lo que se tomará como intervalo abierto. Se concluye que para este valor que se obtuvo (es decir “x=0”) no se tomará, sino todos los restantes. Por lo tanto, el rango es

$(-\infty,0) \cup (0,\infty)$

Referencias bibliográficas.

Aguilar Márquez, A., Bravo Vázquez, F. V., Gallegos Ruiz, H. A., Cerón Villegas, M., & Reyes Figueroa, R. (2009). Matemáticas simplificadas. México: Pearson Educación.
Gil Sevilla, J. L., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial para cursos enfoque por competencias. México: Pearson Educación.
Mitacc, M., & Toro Mota, L. (2009). Tópicos de cálculo. Volumen 1. Perú: Thales S. R. L.
Swokowski, E. W. (1989). Cálculo con geometría analítica. México: Panamericana.
Thomas, J. G. (2006). Cálculo. Una variable. México: Pearson Educación.
Zill, D. G. (1999). Cálculo con geometría analítica. México.
Zill, D. G., & Wright, W. S. (2010). Matemáticas 1. Cálculo diferencial. México: Mc Graw Hill Interamericana.
Recuperado de: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/diferencial/funciones.htm